5．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 ( )
A．3,2 B．2,3 C．2,30 D．30,2
解析：因为92÷30不是整数，因此必须先剔除部分个体数，因为92＝30×3+2，故剔
除2个即可，而间隔为3.
答案：A
4.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是 ( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，这4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：A可用分层抽样法；B中总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法；C中总体中个体数目比较大，抽取个体数也较大时，宜用系统抽样法．D中总体容量较小宜用抽签法．
答案：C
3．某工厂有1 200名职工，为了研究职工的健康状况，确定从中随机抽取一个容量为n的样本，若每个职工被抽到的概率是没有被抽到的概率的一半，则样本容量n等于________．
解析：因为每个职工被抽到的概率是没有被抽到的概率的一半，所以每个职工被抽到的概率P＝.∵P＝，且N＝1 200，∴n＝×1 200＝400.
答案：400
2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知＝，∴n＝28，∴P＝＝.
答案：B
1.对总体个数为N的一批零件，从中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 ( )
A．200 B．150 C．120 D．100
解析：由＝0.25，得N＝120.
22．(文)(本小题满分14分)已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)＝x2－x+b，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an+log3n＝log3bn，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)设Pn＝a1+a4+a7+…+a3n－2，Qn＝a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．
解：(1)因为y＝f(x)的图象过原点，所以f(x)＝x2－x.
所以Sn＝n2－n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2+(n－1)＝2n－2，
又因为a1＝S1＝0适合an＝2n－2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－2(n∈N*)．
(2)由an+log3n＝log3bn得：bn＝n·3an＝n·32n－2(n∈N*)，
所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝30+2·32+3·34+…+n·32n－2，9Tn＝32+2·34+3·36+…+n·32n.
两式相减得：8Tn＝n·32n－(1+32+34+36+…+32n－2)＝n·32n－，
所以Tn＝－＝.
(3)a1，a4，a7，…，a3n－2组成以0为首项，6为公差的等差数列，所以Pn＝×6＝3n2－3n；
a10，a12，a14，…，a2n+8组成以18为首项，4为公差的等差数列，所以Qn＝18n+×4＝2n2+16n.
故Pn－Qn＝3n2－3n－2n2－16n＝n2－19n＝n(n－19)，
所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn>Qn；
当n＝19时，Pn＝Qn；
当n<19时，Pn<Qn.
(理)(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an+2，Sn+1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*.令bn＝an+1－2an，且a1＝1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若f(x)＝b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn，求f′(1)的表达式，并比较f′(1)与8n2－4n的大小．
解：(1)∵Sn+1＝4(an+2)－5，∴Sn+1＝4an+3，
∴Sn＝4an－1+3(n≥2)，
∴an+1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an+1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)，
∴＝＝2(n≥2)．
∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1，
而a1+a2＝4a1+3，且a1＝1，∴a2＝6，
∴b1＝6－2＝4，
∴bn＝4×2n－1＝2n+1.
(2)∵f(x)＝b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn，
∴f′(x)＝b1+2b2x+3b3x2+…+nbnxn－1，
∴f′(1)＝b1+2b2+3b3+…+nbn，
∴f′(1)＝22+2·23+3·24+…+n·2n+1， ①
∴2f′(1)＝23+2·24+3·25+…+n·2n+2， ②
①－②得
－f′(1)＝22+23+24+…+2n+1－n·2n+2
＝－n·2n+2＝－4(1－2n)－n·2n+2，
∴f′(1)＝4+(n－1)·2n+2，
∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)·2n－4(2n2－n－1)
＝4(n－1)[2n－(2n+1)]．
当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；
当n＝2时，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4<0，f′(1)<8n2－4n；
当n＝3时，f′(1)－(8n2－4n)>0，
结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x+1的图象知，当x>3时，总有2x>2x+1，
故当n≥3时，总有f′(1)>8n2－4n.
综上：当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；
当n＝2时，f′(1)<8n2－4n；
当n≥3时，f′(1)>8n2－4n.
21．(本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数例{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公an及前n项和Sn；
(2)若数列{bn}满足bn+1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则解得
∴an＝2n+3.
Sn＝＝n(n+4)．
(2)由bn+1－bn＝an，
∴bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N*)．
当n≥2时，
bn＝(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1
＝an－1+an－2+…+a1+b1
＝(n－1)(n－1+4)+3＝n(n+2)．
对b1＝3也适合，
∴bn＝n(n+2)(n∈N*)．
∴＝＝(－)．
Tn＝(1－+－+…+－)
＝(－－)＝.
20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝，且[3+(－1)n]an+2－2an+2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.
(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n－1·a2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)经计算a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝.
当n为奇数时，an+2＝an+2，即数列{an}的奇数项成等差数列，
∴a2n－1＝a1+(n－1)·2＝2n－1.
当n为偶数时，an+2＝an，即数列{an}的偶数项成等比数列，
∴a2n＝a2·()n－1＝()n.
因此，数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵bn＝(2n－1)·()n，
∴Sn＝1·+3·()2+5·()3+…+(2n－3)·()n－1+(2n－1)·()n， ①
Sn＝1·()2+3·()3+5·()4+…+(2n－3)·()n+(2n－1)·()n+1， ②
①②两式相减，
得Sn＝1·+2[()2+()3+…+()n]－(2n－1)·()n+1
＝+－(2n－1)·()n+1
＝－(2n+3)·()n+1.
∴Sn＝3－(2n+3)·()n.
19．(本小题满分12分)(2010·黄冈模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax+a(a≠0)，不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)．
(2)设各项均不为0的数列{cn}中，满足ci·ci+1<0的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数，令cn＝1－(n∈N*)，求数列{cn}的变号数．
解：(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝4，
故f(x)＝x2－4x+4.
由题Sn＝n2－4n+4＝(n－2)2
则n＝1时，a1＝S1＝1；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，
故an＝
(2)由题可得，cn＝.
由c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，
所以i＝1，i＝2都满足ci·ci+1<0，
当n≥3时，cn+1>cn，且c4＝－，
同时1－>0⇒n≥5，
可知i＝4满足ci、ci+1<0，n≥5时，均有cncn+1>0.
∴满足cici+1<0的正整数i＝1,2,4，故数列{cn}的变号数为3.
18．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝t，a2＝t2，前n项和为Sn，且Sn+2－(t+1)Sn+1+tSn＝0(n∈N*)．
(1)证明数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)当<t<2时，比较2n+2－n与tn+t－n的大小；
(3)若<t<2，bn＝，求证：++…+<2n－2－.
解：(1)证明：由Sn+2－(t+1)Sn+1+tSn＝0，得tSn+1－tSn＝Sn+2－Sn+1，即an+2＝tan+1，
而a1＝t，a2＝t2，∴数列{an}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴an＝tn.
(2)∵(tn+t－n)－(2n+2－n)＝(tn－2n)[1－()n]，又<t<2，∴<<1，则tn－2n<0且1－()n>0，
∴(tn－2n)[1－()n]<0，∴tn+t－n<2n+2－n.
(3)证明：∵＝(tn+t－n)，
∴2(++…+)<(2+22+…2n)+(2－1+2－2+…+2－n)＝2(2n－1)+1－2－n＝2n+1－(1+2－n)<2n+1－2，
∴++…+<2n－2－.