8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．
解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn+1，则a1＝2，an－an－1＝an，即an＝2an－1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10＝＝2046.
答案：2046
7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
解析：设至少需要n秒钟，则1+21+22+…+2n－1≥100，
∴≥100，∴n≥7.
答案：B
6．数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝+n+1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________.
解析：由已知等式得nan＝(n+1)an－1+n(n+1)(n∈N*，n≥2)，则－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n+2，则an＝(n+1)(n+2)．n＝1时，此式也成立．
答案：(n+1)(n+2)
5．(2010·邯郸模拟)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20＝200，则x5+x16＝________.
解析：由题意，若{an}为调和数列，则{}为等差数列，所以{}为调和数列，则可得数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5+x16＝x1+x20＝x2+x19＝…＝＝20.
答案：20
4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N+)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了 ( )
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解析：由第n天的维修保养费为元(n∈N+)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．
设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为
＝++4.95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.
3．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2＝3，b4+b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)∵数列{an}是等差数列，
∴S6＝3(a1+a6)＝3(a2+a5)＝36.
∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，
又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.
(2)由等比数列{bn}满足b1+b2＝3，b4+b5＝24，
得＝q3＝8，∴q＝2，
∵b1+b2＝3，∴b1+b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，
∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.
∴Tn＝1×1+3×2+5×22+…+(2n－3)·2n－2+(2n－1)·2n－1，
则2Tn＝1×2+3×22+5×23+…+(2n－3)·2n－1+(2n－1)·2n，
两式相减得(1－2)Tn＝1×1+2×2+2×22+…+2·2n－2+2·2n－1－(2n－1)·2n，即
－Tn＝1+2(21+22+…+2n－1)－(2n－1)·2n
＝1+2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，
∴Tn＝(2n－3)·2n+3.
(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列{an－2}为等比数列；
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
解：(1)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，
∴(an+1+Sn+1)－(an+Sn)＝2，即an+1＝.
∵a1＝1，∴a2＝，a3＝.
(2)证明：由题意得a1－2＝－1，
又∵＝＝，
∴{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列．
(3)由(2)得an－2＝－()n－1，∴nan＝2n－n·()n－1，
∴Tn＝(2－1)+(4－2·)+[6－3·()2]+…+[2n－n·()n－1]，
＝(2+4+6+…+2n)－[1+2·+3·()2+…+n·()n－1]，
设An＝1+2·+3·()2+…+n·()n－1， ①
∴An＝+2·()2+3·()3+…+n·()n， ②
①－②得An＝1++()2+…+()n－1－n·()n，
∴An＝－n·()n，
∴An＝4－(n+2)·()n－1，
∴Tn＝+(n+2)·()n－1－4＝(n+2)·()n－1+n(n+1)－4.
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有 ( )
A．a3+a9≤b4+b10
B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10
D．a3+a9与b4+b10的大小不确定
解析：∵a3+a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4+b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．
1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则+等于 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由题意得b2＝ac,2m＝a+b,2n＝b+c，则+＝＝＝＝2.
答案：C
12．(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－()n－1+2(n∈N*)．
(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)令cn＝an，求Tn＝c1+c2+…+cn的值．
解：(1)在Sn＝－an－()n－1+2中，
令n＝1，可得S1＝－a1－1+2＝a1，即a1＝.
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－()n－2+2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an+an－1+()n－1，
∴2an＝an－1+()n－1，即2nan＝2n－1an－1+1.
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1+1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1.
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1+(n－1)·1＝n＝2nan，
∴an＝.
(2)由(1)得cn＝an＝(n+1)()n，所以
Tn＝2×+3×()2+4×()3+…+(n+1)·()n， ①
Tn＝2×()2+3×()3+…+n·()n+(n+1)·()n+1， ②
由①－②得Tn＝1+()2+()3+…+()n－(n+1)·()n+1
＝1+－(n+1)()n+1
＝－.
∴Tn＝3－.
(理)已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列，设bn+2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求证：{bn}是等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn；
(3)若cn≤m2+m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：由题意知，an＝()n(n∈N*)．
∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，
∴bn+1－bn＝3logan+1－3logan＝3log＝3logq＝3，
∴数列{bn}是首项为b1＝1，公差为d＝3的等差数列．
(2)由(1)知，an＝()n，bn＝3n－2(n∈N*)，
∴cn＝(3n－2)×()n，(n∈N*)，
∴Sn＝1×+4×()2+7×()3+…+(3n－5)×()n－1+(3n－2)×()n，
于是Sn＝1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n－5)×()n+(3n－2)×()n+1，
两式相减得
Sn＝+3[()2+()3+…+()n]－(3n－2)×()n+1＝－(3n+2)×()n+1，
∴Sn＝－·()n(n∈N*)．
(3)∵cn+1－cn＝(3n+1)·()n+1－(3n－2)·()n
＝9(1－n)·()n+1，(n∈N*)．
∴当n＝1时，c2＝c1＝，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1＝c2>c3>c4>…>cn，
∴cn取得的最大值是.
又cn≤m2+m－1对一切正整数n恒成立，
∴m2+m－1≥，即m2+4m－5≥0，
得m≥1或m≤－5.
11．对于数列{an}，定义数列{an+1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an+1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1
＝2n－1+2n－2+…+22+2+2
＝+2＝2n－2+2＝2n.
∴Sn＝＝2n+1－2.
答案：2n+1－2
an－2，b1＝3log