7．函数y＝sin2x－x，x∈[－，]的最大值是________，最小值是________．

解析：∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±.

而f(－)＝－+，f()＝－，

端点f(－)＝，f()＝－，

所以y的最大值是，最小值是－.

答案：　－

6.若函数f(x)＝x³－3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是　　 (　)

A．(－2,2)　 　　　B．[－2,2]　　　 C．(－∞，－1)　 　　　D．(1，+∞)

解析：由f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x+1)，

且当x＜－1时，f′(x)＞0；

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.

所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．

要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足

解之得－2＜a＜2.

答案：A

5.(文)函数f(x)＝x³+ax²+3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝　　　 (　)

A．2　　　 　B．3 　　　C．4 　　　　D．5

解析：因为f(x)＝x³+ax²+3x－9，所以f′(x)＝3x²+2ax+3，由题意有f′(－3)＝0，所以3×(－3)²+2a×(－3)+3＝0，由此解得a＝5.

答案：D

(理)设a∈R，若函数y＝e^x+ax，x∈R有大于零的极值点，则　　　　　　　 (　)

A．a＜－1　 　　B．a＞－1 　　　C．a＞－ 　　D．a＜－

解析：由y′＝(e^x+ax)′＝e^x+a＝0得e^x＝－a，

即x＝ln(－a)＞0⇒－a＞1⇒a＜－1.

答案：A

4．设函数f(x)＝x³+ax²－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y＝6平行，求：

(1)a的值；

(2)函数f(x)的单调区间．

解：(1)因f(x)＝x³+ax²－9x－1，

所以f′(x)＝3x²+2ax－9

＝3²－9－.

即当x＝－时，f′(x)取得最小值－9－.

因斜率最小的切线与12x+y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a²＝9.

解得a＝±3，由题设a<0，所以a＝－3.

(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x³－3x²－9x－1，

f′(x)＝3x²－6x－9＝3(x－3)(x+1)，

令f′(x)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，

故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；

当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，

故f(x)在(－1,3)上为减函数；

当x∈(3，+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，+∞)上为增函数．

由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，+∞)，单调递减区间为(－1,3)．

3．已知函数y＝ax与y＝－在(0，+∞)上都是减函数，则函数y＝ax³+bx²+5的单调减区间为________．

解析：根据题意a＜0，b＜0.

由y＝ax³+bx²+5，得y′＝3ax²+2bx，

令y′＜0，可得x＞0或x＜－，

故所求减区间为(－∞，－)和(0，+∞)．

答案：(－∞，－)和(0，+∞)

2.若函数h(x)＝2x－+在(1，+∞)上是增函数，则实数k的取值范围是　　　 (　)

A．[－2，+∞)　　 　B．[2，+∞)　　　 C．(－∞，－2] 　　　D．(－∞，2]

解析：因为h′(x)＝2+，所以h′(x)＝2+＝≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥－2x²在(1，+∞)上恒成立，所以k∈[－2，+∞)．

答案：A

1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)e^x的单调递增区间是说明　　　　　　　　　 (　)

A．(－∞，2)　 　　B．(0,3)　　 C．(1,4) 　　D．(2，+∞)

解析：f(x)＝(x－3)·e^x，f′(x)＝e^x(x－2)＞0，

∴x＞2.

∴f(x)的单调递增区间为(2，+∞)．

答案：D

12．(文)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x³+ax与g(x)＝bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.

解：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，

所以f(t)＝0，

即t³+at＝0.因为t≠0，所以a＝－t ².

g(t)＝0，即bt²+c＝0，所以c＝ab.

又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，

所以f′(t)＝g′(t)．

而f′(x)＝3x²+a，g′(x)＝2bx，

所以3t²+a＝2bt.

将a＝－t²代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t³.

故a＝－t²，b＝t，c＝－t³.

(理)已知函数f(x)＝ax³+3x²－6ax－11，g(x)＝3x²+6x+12，和直线m：y＝kx+9，又f′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)f′(x)＝3ax²+6x－6a，f′(－1)＝0，

即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

(2)∵直线m恒过定点(0,9)，先求直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x_0,3+6x₀+12)，

∵g′(x₀)＝6x₀+6，

∴切线方程为y－(3+6x₀+12)＝(6x₀+6)(x－x₀)，将点(0,9)代入，得x₀＝±1，

当x₀＝－1时，切线方程为y＝9；

当x₀＝1时，切线方程为y＝12x+9.

由f′(x)＝0得－6x²+6x+12＝0，即有x＝－1或x＝2，

当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；

当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.

∴公切线是y＝9.

又有f′(x)＝12得－6x²+6x+12＝12，∴x＝0或x＝1.

当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；

当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，

∴公切线不是y＝12x+9.

综上所述公切线是y＝9，此时存在，k＝0.

11．(文)(2010·开原模拟)设a＞0，f(x)＝a²+bx+c，曲线y＝f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则点P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为(　)

A．[0，] 　　　B．[0，]　　　 C．[0，||]　 　　　D．[0，||]

解析：∵y＝f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的范围为[0，]，∴0≤f′(x₀)≤1，即0≤2ax₀+b≤1，∴－≤x₀≤，∴0≤x₀+≤，即点P到曲线y＝f(x)对称轴的距离的取值范围为[0，]．

答案：B

(理)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3＝0的最短距离是　　　　　　 (　)

A.　 　　　B．2　　　　 C．3 　　　　　D．0

解析：设曲线上过点P(x₀，y₀)的切线平行于直线2x－y+3＝0，此切点到直线2x－y+3＝0的距离最短，即斜率是2，则

y′|x＝x₀＝[·(2x－1)′]|x＝x₀

＝|x＝x₀＝＝2.

解得x₀＝1，所以y₀＝0，即点P(1,0)，

点P到直线2x－y+3＝0的距离为＝，

∴曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3＝0的最短距离是.

答案：A

10.下图中，有一个是函数f(x)＝x³+ax²+(a²－1)x+1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A． 　　　　　B．－　　　　　　 C.　 　　　　D．－或

解析：∵f′(x)＝x²+2ax+(a²－1)，

∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．

由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1.

故f(－1)＝－－1+1＝－.

答案：B