24．(2010年浙江省东阳市)(6分)如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．

(1)　　　 请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明

你的结论．

(2)连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应

添加一个条件　　　 ▲　　

[关键词]三角形的全等

[答案](1)AD是△ABC的中线.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°．．．．．．．．．1分

又∵BE＝CF，∠BDE＝∠CFD　∴△BDE≌△CFD(AAS)．．．．．．．2分

(2)AB＝AC或∠ABC＝∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC．．．．．．．2分

23.(2010年四川省眉山市)如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

(2)若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

[关键词]平行四边形的判定、菱形的性质与判定和面积、矩形的性质

[答案]解：(1)四边形OCED是菱形．

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

又　 在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四边形OCED是菱形．

(2)连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，

　　 ∴OE∥BC

　　 又　 CE∥BD

∴四边形BCEO是平行四边形

∴OE=BC=8

∴S_{四边形OCED}=

22.(2010年宁德市)(本题满分13分)如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.

[答案]解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB(SAS).

⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小.

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小. ………………9分

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF²+FC²＝EC²，

∴()²+(x+x)²＝.

解得，x＝(舍去负值).

∴正方形的边长为.

21. (2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF

＝4.求GH的长.

　(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

　　　 ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

[答案](1) 证明：如图1，∵　 四边形ABCD为正方形，

∴　 AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，　

∴　 ∠EAB+∠AEB=90°.

∵　 ∠EOB=∠AOF＝90°,

∴　 ∠FBC+∠AEB=90°，∴　 ∠EAB=∠FBC，　　　　　　

∴　 △ABE≌△BCF ，　 ∴　 BE=CF．　　 　　　　

(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O^/，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，　

∴　 EF=BN,GH=AM，　　　　

∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO^/A=90°,

故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴　 AM=BN，

∴　 GH=EF=4．　　　　

(3)　 ① 8．② 4n．　　　　　

20.(2010年四川省眉山)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(，0)、(0，4)，抛物线经过B点，且顶点在直线上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

[关键词]抛物线、菱形、最值

[答案]　 　　 解：(1)由题意，

可设所求抛物线对应的函数关系式为　 …(1分)

　　　　　　 ∴

　　　　　　 ∴　　 ……………………………………………………………(3分)

　　　　　　 ∴所求函数关系式为：　 …………(4分)

　　　 (2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5　　 ……………………………………(5分)

∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)．　 …………(6分)

当时，

当时，

∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………(7分)

(3)设直线CD对应的函数关系式为，则

解得：．

∴ 　　　　………(9分)

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t．

则，　 ，……………………(10分)

∴

∵， ∴当时，，

此时点M的坐标为(，)． ………………………………(12分)

18.(2010年山东省青岛市)已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

(1)求证：BE = DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[关键词]菱形的判定

[答案]证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．

∵AE = AF，

∴．

∴BE＝DF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)四边形AEMF是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．

∵BE＝DF，

∴BC－BE = DC－DF. 即．

∴．

∵OM = OA，

∴四边形AEMF是平行四边形．

∵AE = AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

19(.2010年广东省广州市)如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线＝－+交折线OAB于点E．

(1)记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA₁B₁C₁，试探究OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

[关键词]轴对称 四边形 勾股定理

[答案](1)由题意得B(3，1)．

若直线经过点A(3，0)时，则b＝

若直线经过点B(3，1)时，则b＝

若直线经过点C(0，1)时，则b＝1

①　　 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

　 此时E(2b，0)

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E(3，)，D(2b－2，1)

∴S＝S_矩－(S_△OCD+S_△OAE +S_△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1+×(5－2b)·()+×3()]＝

∴

(2)如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴

∴S_{四边形DNEM}＝NE·DH＝

∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

17．(2010年益阳市)如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1) 求∠ABD 的度数；

　(2)求线段的长．

[关键词]菱形性质、等边三角形、

[答案]解:⑴　在菱形中,，

∴为等边三角形　　　　

∴　　　　　　　　

⑵由(1)可知　　　　

又∵为的中点

∴　　　　　　　

又∵，及

∴

∴　　　　　　　

16.(2010福建龙岩中考)22.(12分)

如图，将边长为的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标

系中.已知∠B=45°.

(1)画出边AB沿y轴对折后的对应线段，

与边CD交于点E；

(2)求出线段 的长；

(3)求点E的坐标.

15.(2010福建龙岩中考)20.(10分)

如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF.

(1)请你写出图中所有的全等三角形

(2)试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明.

14. (2010年青岛)已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

(1)求证：BE = DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[答案]证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．

∵AE = AF，

∴．

∴BE＝DF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)四边形AEMF是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．

∵BE＝DF，

∴BC－BE = DC－DF. 即．

∴．

∵OM = OA，

∴四边形AEMF是平行四边形．

∵AE = AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．