4.a₁,a₂,…,a_2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是　　　　　　

3.若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：　　　　　　　　　　　　 ( 　)

A .4005 , B 4006, C. 4007 , D .4008

[填空题]

2．设Sn是等差数列{a_n}的前n项和，若=，则=　　　　　　　 　( 　　)

A 1　　 B　 －1　　 C　　 2　　 D　

1.在等比数列{a_n}中，a₅+a₆=a(a≠0)，a₁₅+a₁₆=b，则a₂₅+a₂₆的值是　　　 (　 )

A.　 B.　 C.　 D.

2.转化化归思想.函数方程思想;重点是运用所学知识综合解决问题的能力.

例题简答

同步练习　 　　　3．6等差等比数列综合

[选择题]

1.等差与等经数列的综合,数列与函数、不等式、方程、等内容的综合.

[例1](2005北京海淀模拟)在等比数列{a_n}(n∈N^*)中，a₁＞1，公比q＞0.设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0.

(1)求证：数列{b_n}是等差数列；

(2)求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；

(3)试比较a_n与S_n的大小.

剖析：(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.

(1)证明：∵b_n=log₂a_n，∴b_n+1－b_n=log₂=log₂q为常数.∴数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q.

(2)解：∵b₁+b₃+b₅=6，∴b₃=2.

∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁＞0.

∵b₁b₃b₅=0，∴b₅=0.

∴解得

∴S_n=4n+×(－1)=.

∵∴

∴a_n=2^5－n(n∈N^*).

(3)解：显然a_n=2^5－n＞0，当n≥9时，S_n=≤0.

∴n≥9时，a_n＞S_n.

∵a₁=16，a₂=8，a₃=4，a₄=2，a₅=1，a₆=，a₇=，a₈=，S₁=4，S₂=7，S₃=9，S₄=10，S₅=10，S₆=9，S₇=7，S₈=4，

∴当n=3，4，5，6，7，8时，a_n＜S_n；

当n=1，2或n≥9时，a_n＞S_n.

评述：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.

[例2](2002春北京)已知点的序列A_n(x_n，0)，n∈N^*，其中x_l＝0，x₂＝a(a＞0)，A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，….

(1)写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式(n≥3)；

(2)设a_n＝x_n+1－x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明.

解：(1)当n≥3时，x_n=.

(2)a₁=x₂－x₁=a，a₂=x₃－x₂=－x₂=－(x₂－x₁)=－a，

a₃=x₄－x₃=－x₃=－(x₃－x₂)=－(－a)=a，

由此推测：a_n=(－)^n－1a(n∈N^*).

证明如下：因为a₁=a＞0，且a_n=x_n+1－x_n=－x_n==－(x_n－x_n－1)=－a_n－1(n≥2)，所以a_n=(－)^n－1a.

[例3] 已知f(x)=(+)²(x≥0)，又数列{a_n}(a_n＞0)中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n(n∈N^*)对所有大于1的自然数n都有S_n=f(S_n－1).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n=(n∈N^*)，求证(b₁+b₂+…+b_n－n)=1.

解：(1)∵f(x)=(+)²，

∴S_n=(+)².

∴－=.又=，

故有=+(n－1)=n，

即S_n=2n²(n∈N^*).

当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=2n²－2(n－1)²=4n－2；

当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n－2.

因此，a_n=4n－2(n∈N^*).

(2)∵b_n==1+－，

∴b₁+b₂+b₃+…+b_n－n=1－.

从而(b₁+b₂+…+b_n－n)=(1－)=1.

温馨提示:由于已知条件给出的是S_n与S_n－1的函数关系，求出S_n就可求出a_n.

[例4](2005北京东城模拟)已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项.

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)设数列{c_n}对任意正整数n均有+++…+=(n+1)a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n.

解：(1)由题意得(a₁+d)(a₁+13d)=(a₁+4d)²，整理得2a₁d=d².

∵a₁=1，解得d=2(d=0不合题意舍去)，

∴a_n=2n－1(n=1，2，3，…).

由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，易求得b_n=3^n－1(n=1，2，3，…).

(2)当n=1时，c₁=6；

当n≥2时，=(n+1)a_n+1－na_n=4n+1，

∴c_n=(4n+1)m^n－1b_n=(4n+1)(3m)^n－1.

∴c_n=　

当3m=1，即m=时，

S_n=6+9+13+…+(4n+1)

=6+

=6+(n－1)(2n+5)=2n²+3n+1.

当3m≠1，即m≠时，

S_n=c₁+c₂+…+c_n，即

S_n=6+9·(3m)+13·(3m)²+…+(4n－3)(3m)^n－2+(4n+1)(3m)^n－1.　　　　 　 ①

3mS_n=6·3m+9·(3m)²+13·(3m)³+…+(4n－3)(3m)^n－1+(4n+1)(3m)ⁿ.　 ②

①－②得

(1－3m)S_n=6+3·3m+4·(3m)²+4·(3m)³+…+4·(3m)^n－1－(4n+1)(3m)ⁿ

=6+9m+4［(3m)²+(3m)³+…+(3m)^n－1］－(4n+1)(3m)ⁿ

=6+9m+－(4n+1)(3m)ⁿ.

∴S_n=+.

∴S_n=

温馨提示(1)已知→公差→a_n和b，进而求出通项_n；

(2)→→C_n→S_n.

[研讨.欣赏]已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为它的前n项和，

(1)用S_n表示S_n+1；

(2)是否存在自然数c和k，使得成立。

　　 解：(1)∵

∴

　 (2)(*)

∵

∴

∴ 式(*)　　　 ①

∵ S_k+1>S_k

∴

又S_k<4

∴ 由①得：c=2或c=3

当c=2时

∵ S₁=2

∴ k=1时，c<S_k不成立，从而式①不成立

∵

∴ 由S_k<S_k+1得：

∴ 当k≥2时，，从而式①不成立

　 当c=3时，S₁2，S₂=3

∴ 当k=1，2时，C<S_k不成立

∴ 式①不成立

∵

∴ 当k≥3时，，从而式①不成立

综上所述，不存在自然数c，k，使成立

6. a_n=5-a_n-1, a₁₈=3; 当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=n-。

5.只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列.答案：a，－a，a…(a≠0)

4.当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a_3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a_3k+1}能取遍前8项.答案：B