例1x,y是满足的整数，则以(x,y)为坐标的点有多少个

　 当x=1,2时y=2,3,4,5,6,7　 当x=3，，时，y=3，4，5，6，7，当x=4时，y=4，5，6，7，故共有21个

变式设，则以(x,y)为坐标的点，在第一象限的有___6__个，在第二象限的点有__3____个，在坐标轴上的有__4____个

例2.　 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11,故共有个

变题：上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?　 5=80

例3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如下图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____120_________种.(以数字作答)

例4.　 关于正整数2160，求它有多少个不同的正因数？40

例5 若把两条异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有____24______对

例6有红.黄，蓝旗各3面，每次升一面，二面，三面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号　　 3+9+27=39

同步练习

1如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　 B )A．96　　 B．84　 C．60　 D．48　　　　　　　

2 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种　　　　　　　 B.12种　　　　　　　 C.16种　　　　　　　 D.20种

3 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有　　　 种。

A．81　　　　　　　 B．64　　　　　　　 C．24　　　　　　　 D．4

4如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180　　 B. 160　　 C. 96　　 D. 60

若变为图二为____240_____种,图三为____320______种

5 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个

不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是(　 )

　A．20　　　　　　 B．19　　　　　　 C．18　　　　　　 D．16

6将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有(　　 )A．6种　　　 B．12种　　 C．24种　　 D．48种

7 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为(　 　)

A.2000　　　 B.4096　　　 C.5904　　　 D.8320

8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(　　 )A．24种　 　B．18种　 　C．12种　 D．6种

9在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有(　 )

(A)36个　 (B)24个　 (C)18个　 　 (D)6个

10 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有(　 )(A)280种　 (B)240种　 (C)180种　　 (D)96种

11从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　　 300 　　个。(用数字作答)

12用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是　 　40 　　

13如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有　　 16　 　　　种.

15将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为________种30

　分类计数原理和分步计数原理

(1)分类计数原理(加法原理)：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有　 N=m₁+m₂+…+m_n 种不同的方法。

(2) 分步计数原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事有 N=m₁×m₂×…×m_n

种不同的方法。

二基础练习

1 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有　 (　 ).

A.24种　 　　　　 B.16种　 　　　　 C.12种　 　　　 D.10种

2 5名运动员争夺3项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那么获得冠军的可能种数为( )A、125　　　　　 B、243　　 C、60　　　　　 D、10

3 某城市的电话号码，由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是　 (　 )

A.9×8×7×6×5×4×3×2　 B.8×9⁷ C.9×10⁷ D.81×10⁶

4.72的正约数共有____12______个.

5 从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax²+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有___18_________个，其中不同的偶函数共有______6______个.(用数字作答)