6.设f(x)定义在实数集上的周期为2的函数，且为偶函数，当x∈[0,1]时，

,则由小到大的顺序是____________

简答.提示:1-4.DBCB; 4.取;取x₁=x₂=-1得f(-1)=0

再取x₁=-1,x₂=x得f(-x)=f(x);　 5. 0.5;　 6. 周期是2且偶函数可得

又在[0,1]上f(x)=x^-2008,是增函数,且

[解答题]

5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)=　　　

4．(2004福建)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则(　 )

　　　 A．f(sin)<f(cos)　　　　　　 　　　　　 B．f(sin1)>f(cos1)

　　　 C．f(cos)<f(sin)　　　　 　　　　　 D．f(cos2)>f(sin2)

[填空题]

3.设f(x)是R上的实函数，且满足：f(10+x)=f(10-x),f(20+x)= -f(20-x)，则f(x)是( 　)

A.是偶函数又是周期函数　 B.是偶函数但不是周期函数

C.是奇函数又是周期函数　 D.是奇函数但不是周期函数

2.已知f(x)对任意的整数x都有f(x+2)＝f(x－2)，若f(0)＝2003，则f(2004)＝ ( 　) 　　 A.2002　　　 B.2003　　 C.2004　　　 D.2005　

1.(2007石家庄质检)已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为( 　)

　　 A． 　　B． 　　C． 　D．

2.抽象函数处理方法，主要是“赋值法”，通常是抓住函数特性，利用变量代换解题。要能灵活驾驭函数性质及概念的本质。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

同步练习　　　　 2．11 抽象函数

[选择题]

1.抽象函数一般是函数的一些特性,由这些特性讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。

[例1]已知函数对一切，都有，求证:

(1)是奇函数；(2)若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.

解：(1)在中，

令，得，

令，得，∴，

∴，即， ∴是奇函数

(2)f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).且f(0)=0

图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2-x)=f(x)，

且f(2)=f(0)=0　 又已知f(x+y)=f(x)+f(y)

∴f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)≡0.

方法提炼：1．赋值法．赋值的目的要明确，本题就是要凑出f(0),f (-x)与f(x)的关系；2．领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性。

[例2]已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁,x₂都有，且当时，

(1)求证：f(x)是偶函数；　(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数；

(3)解不等式

解：(1)令，得，∴，

令，得，

∴，

∴是偶函数

(2)设，则

∵，∴，∴，

即，∴

∴在上是增函数

(3)，∴，

∵是偶函数

∴不等式可化为，

又∵函数在上是增函数，

∴0≠，解得：，

即不等式的解集为

[例3] 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x－x²)＞1，求x的取值范围.

(1)证明：令a=b=0，则f(0)=f ²(0).

又f(0)≠0，∴f(0)=1.

(2)证明：当x＜0时，－x＞0，

∴f(0)=f(x)·f(－x)=1.

∴f(－x)=＞0.又x≥0时f(x)≥1＞0，

∴x∈R时，恒有f(x)＞0.

(3)证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0.

∴f(x₂)=f(x₂－x₁+x₁)=f(x₂－x₁)·f(x₁).

∵x₂－x₁＞0，∴f(x₂－x₁)＞1.

又f(x₁)＞0，∴f(x₂－x₁)·f(x₁)＞f(x₁).

∴f(x₂)＞f(x₁).∴f(x)是R上的增函数.

(4)解：由f(x)·f(2x－x²)＞1，f(0)=1得f(3x－x²)＞f(0).又f(x)是R上的增函数，　∴3x－x²＞0.∴0＜x＜3.

关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x₂)=f［(x₂－x₁)+x₁］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.

[例4]已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).

(1)求证：f(x)是周期函数； (2)若，试求f(2001),f(2005)的值。

解：

解题要点　用活条件,

[研究.欣赏] 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，　 (1)求的值；　 (2)对任意的，，都有f(x₁)+2<log_ax₂成立时，求a的取值范围．

解：(1)由已知等式，

令，得，

又∵，∴．

(2)由，

令得，

由(1)知，∴．∵，

∴在上单调递增，

∴．

要使任意，都有成立，必有都成立.

当时，,显然不成立．

当时，，解得

∴的取值范围是．

方法提炼　 怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题.

6．由已知：=2，∴,原式=16