56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有，记S_n为数列{a_n}的前n项和.

　 (1)求数列{a_n}的通项公式；

　 (2)若(为非零常数，n∈N⁺)，问是否存在整数，使得对任意 n∈N⁺，都有b_n+1>b_n.

解：(1)在已知式中，当n=1时，

　　 ∵a₁>0　 ∴a₁=1………………………………………………………………1分

　　 当n≥2时，　 ①

　　 　②

　　 ①－②得，

　　 ∵a_n>0　 ∴==2S_n－a_n

　　 ∵a₁=1适合上式…………………………3分.

　　　　　 当n≥2时， =2S_n－1－a_n－1　 ④

　　　　 ③－④得－=2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1=2a_n－a_n+ a_n－1= a_n+ a_n－1

　　　　 ∵a_n+a_n－1>0　 ∴a_n－a_n－1=1

∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a­_n=n………………5分

　 (2)∵

∴ ⑤………………………………………………………….7分

当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为　 ⑥

依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分

当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为　 ⑦

依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，

∴……………………………………………………………………………..11分

∴

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有b_n+1>b_n……………………………12分

55、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.

　 (1)　求数列，的通项公式；

　 (2) 记,求证：.

解：(Ⅰ)∵a₃，a₅是方程的两根，且数列的公差d>0，

∴a₃=5，a₅=9，公差

∴　 ………………3分

又当n=1时，有b₁=S₁=1－

当

∴数列{b_n}是等比数列，

∴　 …………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知　 …………9分

∴

∴　 …………………………12分

54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，

(1)求证：数列与都是等比数列；(2)求数列前的和；

(3)若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。

解：(1)∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。　　　　　 4分

(2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(3)

当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48

53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，，(是常数，)，且成公比不为的等比数列。

(I)求的值；

(II)求的通项公式。

(III)(理做文不做)由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。

解：(I)，，，因为，，成等比数列，

所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．……理4分(文6分)

(II)当时，由于，，……

，所以。

又，，故．当n=1时，上式也成立，所以……理8分(文12分)

(III)b_n=3^2n-2-3^n-1+2, ∴=9. ……理12分

52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：(a为常数，且)．　 (Ⅰ)求的通项公式；　

(Ⅱ)设，若数列为等比数列，求a的值；

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下，设，数列的前n项和为T_n

求证：．

解：(Ⅰ)∴

当时，

，即是等比数列． ∴；　　　　 ……………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，若为等比数列，

　则有而

故，解得，　　 ………………………………7分

再将代入得成立，

所以．　　　 ………………………………………………………………8分

(III)证明：由(Ⅱ)知，所以

，　　 ………………………………………………… 9分

由得

所以，　　　 …………………… 12分

从而

．

即．　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………14分

51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有

　 (1)若数列

　 (2)求的值.

解：(1)

而

　 (2)由题设，有

又

得上为奇函数.　 由

得　

于是

故

(三)解答题：

11、(07江西20)右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．

(1)设点是的中点，证明：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求此几何体的体积．

解法一：

(1)证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

(2)如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

(3)因为，所以

．

．

所求几何体体积为

．

解法二：

(1)如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

(2)，，

设是平面的一个法向量，则

则，得：

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

(3)同解法一．

备选题：(05重庆10)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所

示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面

各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形

的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则

该塔形中正方体的个数至少是　　　　　　　 (　　 )

A．4　　　　　　　　　　　　 B．5

C．6　　　　　　　　　　　　 D．7

解：k层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k层塔形的

表面积一览表如下：

第k个立方体边长ak	a!=2	a2=	a3=1	a4=	a5=	a6=
第k层立方体增加的面积bk	b1=24	b2=8	b3=4	b4=2	b5=1	b6=
K层塔形的表面积Sk	S1=24	S2=32	S3=36	S4=38	S5=39	S6=

由上表可以看出要使塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则

该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)

(二)填空是：

7、(06广东)棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______；

8、(07辽宁)若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在同一个球的面上，则此球的体积为　　　　 ；

9、(07天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　；

10、(07全国Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为　　　　　 cm．

(一)选择题：

1、(05山东)设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为(　 )

A、　　　　 B、　　　　 C、　　　 D、

2、(05全国Ⅲ)设三棱柱的体积为，分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为(　 )

A、 　　　　　　　B、 　　　　　　　C 、　　 　　　　　D、

3、(05广东)) 已知高为3的直棱锥的底面是边长为1的正三角形

(如图1所示)，则三棱锥的体积为(　　 )

A、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、

4、(06江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

C、3个　　　D、无穷多个

5、(06浙江)如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是(　 )

A、　　　 B、 　　　C、　　 　D、

6、(06湖南)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(　 )

A、 　　　　　B、　　　　　 C、　　　　　 D、

例1、(07全国)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则(　)

A、　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　 D、

例2、(06全国Ⅰ)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　 )

A、　　　　　　 B、　　　　 C、　　　　　　 D、

例3、(06山东12)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为(　　 )

(A)　　 (B)　　　 (C)　 　　　　(D)