(二)填空是：

4、(07全国Ⅰ16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为　　　　　 ；

5、(07安徽15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是　　　　　　　 (写出所有正确结论的编号)．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体。

(一)选择题：

1、(07湖南)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为(　　 )

A、　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　 D、

2、(07安徽)半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为(　　 )

A、　　 B、　　 C、　　　　 D、

3、(07福建)顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为(　 　)

A、　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　 C、　　　　　　 D、

例1、(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　 )

A、①②　　　　 B、①③ C、①④　　　　 D、②④

例2、(07全国Ⅰ)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　)

A、

B、

C、

D、

例3、(07四川)设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是(　 )

A、　 B、 　 C、　　 　 D、

(二)解答题：

6、(04江苏)在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且。

(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(Ⅱ)设点在平面上的射影是，求证：；

(Ⅲ)求点到平面的距离。

解(1)

(2)略

(3)

(一)选择题：

1、(07北京)平面平面的一个充分条件是(　)

A、存在一条直线　　　 B、存在一条直线

C、存在两条平行直线

D、存在两条异面直线

2、(07江苏)已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：

①，；②，，；

③，；④，，．

其中正确命题的序号是(　)

A、①、③　　　　　 B、②、④　　　　　 C、①、④　　　　　 D、②、③

3、(07天津)设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是(　)

A、若与所成的角相等，则　　 B、若，，则

C、若，则　　 D、若，，则

4、(07陕西)已知平面平面，直线，直线，点，点，记点之间的距离为，点到直线的距离为，直线和的距离为，则(　　 )

A、　　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　　 D、

5、(07福建)已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　 )

A、　　 B、

C、　　　　　　 D、

例1、(05上海春)有下列三个命题：

①分别在两个平行平面内的两条直线一定是异面直线；②垂直于同一平面的两条直线是平行直线；③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直。其中正确的命题的个数为(　 )

A、0　B、1　　C、2　　D、3

例2、(06北京)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，⊥平面，且 ，点是的中点.。

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求证//平面；　　　　　

(Ⅲ)求二面角的大小。

解法一：

(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD，

∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，

∴AC⊥PB.

(Ⅱ)连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.

∵ABCD 是平行四边形，

∴O 是 BD 的中点

又 E 是 PD 的中点

∴EO∥PB.

又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC.

(Ⅲ)取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为,=.

又

是二面角的平面角 　

二面角E-AC-B的大小为。

例3、(07山东)如图，在直四棱柱中，已知，，．

(Ⅰ)设是的中点，求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值．

解法一：

(Ⅰ)连结，则四边形为正方形，

，且，

四边形为平行四边形．

．

又平面，平面，

平面．

(Ⅱ)以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，

，，

设为平面的一个法向量．

由，，

得

取，则．

又，，

设为平面的一个法向量，

由，，

得

取，则，

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

．

，

即所求二面角的余弦为．

解法二：

(Ⅰ)以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由题意知：

，，，，，，，．

，，，

又，

．

平面，平面，

平面．

(Ⅱ)取的中点，的中点，连结，，

由(Ⅰ)及题意得知：

，，

，，

，

．

，，

为所求二面角的平面角．

．

所以二面角的余弦值为．

解法三：

(Ⅰ)证明：如解法一图，连结，，

设，，连结，

由题意知是的中点，又是的中点，

四边形是平行四边形，故是的中点，

在中，，

又平面，平面，

平面．

(Ⅱ)如图，在四边形中，设，

，，，

．

故，由(Ⅰ)得

，，

，即．

又，

平面，又平面，

，

取的中点，连结，，

由题意知：，

．

又，．

为二面角的平面角．

连结，在中，

由题意知：

，，

取的中点，连结，，

在中，

，，

．

．

二面角的余弦值为．

(二)填空是：

2、(05山东)在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则有，。”拓展到空间，类比平面几何的定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(三)解答题：

3、(07海南)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值。

证明：

(Ⅰ)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．

所以为直角三角形，．

又．

所以平面．

(Ⅱ)解法一：

取中点，连结，由(Ⅰ)知，得．

为二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值为．

解法二：

以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．

设，则．

的中点，．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值为．

4、(06山东)如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边所在的平面与底面垂直，且，设。

(1)求证直线是异面直线与的公垂线；

(2)求点到平面的距离；

(3)求二面角的大小。

解法1：

(Ⅰ)证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

为与的公垂线.

(Ⅱ)解法1：过A作于D，

　　　 　∵△为正三角形，

∴D为的中点.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由(Ⅰ)知，设A到平面的距离为x，

，

即，解得.

即A到平面的距离为.

则

所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

(I)，，

，

。

　　 又

由已知。

，

而。

又显然相交，

是的公垂线。

(II)设平面的一个法向量，

　 又

　 由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。

　　　 则

　　　　　　　 所以，A到平面VBC的距离为.

(III)设平面的一个法向量

由　　　　　　　 　　　　　　　　　　

取　　

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为

5、(05广东)如图3所示，在四面体中，已知，

．是线段上一点，，点在线段上，且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]

　(Ⅰ)证明：在中， ∵

　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　 ∴　 ∴

　　　　　　　　　　　　　　　 又∵

　　　　　　　　　 ∴

(II)解法一：由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，

建立空间直角坐标系C－xyz，则

，，，，

∵为平面ABC的法向量，

为平面ABC的法向量，

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

(一)选择题：

1、(05天津)设、、为平面，为、、直线，则的一个充分条件是

A、　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　 D、

例1、(05北京春)如图，正三角形的边长为3，过其中心作边的平行线，分别交于、。将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点。求：(1)二面角的大小；(2)异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示)。

例2、(04重庆)设是的二面角内一点，分别为垂足，则的长为：(　　 )

A、　 　　　　B、　　 　　　C、　　 　　　　D、　

例3、(05全国Ⅲ)如图，在四棱锥中，底面是正方形，

侧面是正三角形，平面⊥底面。

(Ⅰ)证明⊥平面；

(Ⅱ)求面与面所成的二面角的大小。

方法一：(Ⅰ)证明：

(Ⅱ)解：取VD的中点E，连结AE，BE

∵VAD是正三角形

∴AE⊥VD，AF=AD

∵AB⊥平面VAD　　 ∴AB⊥AE

又由三垂线定理知BE⊥VD

因此，是所求二面角的平面角

于是，

即得所求二面角的大小为

方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。

(Ⅰ)证明：不妨设，则，

由，得

又，因而与平面内两条相交直线都垂直。

∴平面

(Ⅱ)解：设为中点，则

由，得，又

因此，是所求二面角的平面角。

∵

∴解得所求二面角的大小为。

(三)解答题：

9、(07上海春)如图，在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)。

[解法一] 如图建立空间直角坐标系　　　　　　　 …… 2分

由题意可知　

　　 　　 …… 6分

　　 设直线与所成角为，则

　　 　　　　　　 …… 10分

　　 ，

　　 即异面直线与所成角的大小为　　　　　　　　　　　 …… 12分

[解法二] 连接，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　…… 2分

　　　　 ，且，是平行四边形，则，

　　 　异面直线与所成的角就是与所成的角　　　　　　　　 …… 6分

　　 由平面，得　　　　　

　　 在△中，，则

　　 ，　　　　　　　　　　　 …… 10分

　　 　异面直线与所成角的大小为　　　　　　　　　　 …… 12分