10．(2010·温州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a501的“理想数”为2008，那么数列2，a1，a2…，a501的“理想数”为 ( )
A．2004 B．2006 C．2008 D．2010
解析：∵a1，a2，…，a501的“理想数”为2008，
∴＝2008，
∴2，a1，a2…，a501的理想数为
＝
＝2+
＝2+4×501＝2006.
答案：B
9.已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是 ( )
A．an＞an+1 B．an＜an+1
C．an＝an+1 D．与n的取值有关
解析：＝÷＝＝＜1，∵an+1＞0，∴an＜an+1.
8．根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．
(1)a1＝1，an＝an－1+3n－1(n≥2)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)．
解：(1)∵an＝an－1+3n－1，
∴an－1＝an－2+3n－2，
an－2＝an－3+3n－3，
…
a2＝a1+31.
以上(n－1)个式子相加得
an＝a1+31+32+…+3n－1
＝1+3+32+…+3n－1＝.
(2)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，
a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1··……＝＝.
7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an+2＝an+1－an(n∈N*)，则a1 000＝ ( )
A．5 B．－5 C．1 D．－1
解析：由a1＝1，a2＝5，an+2＝an+1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1 000＝－1.
答案：D
6.在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+ln(1+)，则an＝ ( )
A．2+lnn B．2+(n－1)lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
解析：法一：由已知，an+1－an＝ln，a1＝2，
∴an－an－1＝ln，
an－1－an－2＝ln，
……
a2－a1＝ln，
将以上n－1个式子累加得：
an－a1＝ln+ln+…+ln
＝ln(··…·)＝lnn，
∴an＝2+lnn.
法二：由a2＝a1+ln2＝2+ln2，排除C、D；
由a3＝a2+ln(1+)＝2+ln3，排除B.
答案：A
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2+24n(n∈N?)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？
解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n+25.
经验证，a1＝23符合an＝－2n+25，
∴an＝－2n+25(n∈N?)．
(2)法一：∵Sn＝－n2+24n＝－(n－12)2+144，
∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.
法二：∵an＝－2n+25，
∴an＝－2n+25＞0，有n＜，
∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.
4.(2010·福州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：an＝
∵n＝1时适合an＝2n－10，
∴an＝2n－10.
∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，
∴＜k＜9.
又∵k∈N*，∴k＝8.
3．n个连续自然数按规律排成下表：
0 3 → 4 7 → 8 11 …
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
1 → 2 5 → 6 9 → 10
根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为 ( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2 009＝4×502+1，故2 009在箭头↓的下方，从而2 009与2 010之间是箭头→，2 010与2 011之间是箭头↑.
2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )
A．an＝n2－n+1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：从图中可观察星星的构成规律，
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…
∴an＝1+2+3+4+…+n＝.
答案：C
1.数列、、2、…，则2是该数列的 ( )
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项
解析：原数列可写成、、，….
∵2＝，∴20＝2+(n－1)×3，∴n＝7.
