(一)选择题：

1、(06北京)平面的斜线 交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是(　　 )

A、一条直线　　　　 B、一个圆　　　　 C、一个椭圆　　　　 D、双曲线的一支

2、(06四川)已知两定点如果动点满足条件则点的轨迹所包围的图形的面积等于(　 )

A、　　　 B、　　 C、　　　 D、

3、(06湖北)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是　 (　　 )

A、　　 B、

C、　　 D、

4、(04辽宁6)已知点、，动点，则点P的轨迹是(　 )

　 A、圆　　　　　　　　　　　　 B、椭圆　　　　　　　　　　 C、双曲线　　　　　　　　 D、抛物线

5、(04辽宁9)已知点、，动点满足. 当点的纵坐标是时， 点到坐标原点的距离是( 　)

　　　 A、　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　 D、2

由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ)| |²= x²+y²,　 y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故||的最小值为3。

例4、(05广东17) 在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点满足(如图4所示)(Ⅰ)求得重心(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(Ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

[答案]

解法一：

(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

　 ，①

∴，②　 　③

　∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为　　 ，∴　　 ⑤，

设的重心G为，则

　　 ⑥ ， 　　　⑦，

由⑥⑦得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

(Ⅱ)由弦长公式得

把②⑤代入上式，得　 ，

设点到直线的距离为，则，

∴ ，

∴ 当，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 ．

解法二：

(Ⅰ)∵　 AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

　　 　① ， 　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，

∴

　　　　　　　 ，

当且仅当，即时，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 .

解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

　 　　　　…(1)

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …(2)

又点A，B在抛物线上，有，

代入(2)化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为，

(II)，

由(I)得，

当且仅当即时，等号成立，

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 。

例1、(07福建20) 如图，已知点，

直线，为平面上的动点，过作直线

的垂线，垂足为点，且．

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；

解法一：(Ⅰ)设点，则，由得：

，化简得．

(Ⅱ)设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：(Ⅰ)由得：，

，

，

．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．

(Ⅱ)由已知，，得．

则：．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：．…………②

由①②得：，即．

例2、(06北京19) 已知点(－2，0)，(2，0)，动点满足条件，记动点的轨迹为。(Ⅰ)求的方程； (Ⅱ)若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值。

解法一：

(Ⅰ)由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实

半轴长

又半焦距 c=2，故虚半轴长 所以 W 的方程为,

(Ⅱ)设 A，B 的坐标分别为,

当 AB⊥x轴时,从而从而 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得 故　 所以　

　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　 　　. 又因为,所以,从而 综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设 A，B 的坐标分别为，则, ,则 令 则且所以 　　 当且仅当,即时””成立.

所以、的最小值是2。

例3、(06全国Ⅰ20) 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为，且向量。求：(Ⅰ)点的轨迹方程；(Ⅱ)的最小值。

解: 椭圆方程可写为: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为:　 x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切线AB的方程为:

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因为，椭圆　 Q右准线l方程是x＝，原点距l

的距离为，由于c²＝a²－b²，a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£)

则＝＝2sin(+)

当q＝时，上式达到最大值。此时a²＝2，b²＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，三角形ABD的面积

S＝|y₁|+|y₂|＝|y₁－y₂|

设直线m的方程为x＝ky+1，代入中，得(2+k²)y²+2ky－1＝0

由韦达定理得y₁+y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝(y₁－y₂)²＝(y₁+y₂)²－4 y₁y₂＝

令t＝k²+1³1，得4S²＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

9、(04全国Ⅲ21)设椭圆的两个焦点是(,0), ，且椭圆上存在点，使得直线与直线垂直． (I)求实数 的取值范围；(II)设是相应于焦点 的准线，直线与相交于点。 若，求直线的方程。

解：⑴∵直线PF₁⊥直线PF₂　∴以O为圆心以c为半径的圆：x²+y²=c²与椭圆：有交点.即有解又∵c²=a²-b²=m+1-1=m>0　

∴　∴

⑵设P(x,y), 直线PF₂方程为：y=k(x-c)

∵直线l的方程为：

∴点Q的坐标为()

∵　 ∴点P分有向线段所成比为

∵F₂(,0),Q ()　 ∴P()

∵点P在椭圆上　∴

∴

直线PF₂的方程为：y=(x-).

(三)解答题：

7、(07陕西21)已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值。

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

(Ⅱ)设，．

(1)当轴时，．

(2)当与轴不垂直时，

设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

当最大时，面积取最大值。

8、(06江西21)如图，椭圆： +＝1()的右焦点，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，是线段的中点

(1)求点的轨迹的方程；

(2)在的方程中，令，，确定的值，使原点距椭圆的右准线最远，此时，设与x轴交点为，当直线绕点转动到什么位置时，三角形的面积最大？

解：如图，(1)设椭圆Q：(a>b>0)

上的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又设P点坐标为P(x，y)，则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

(二)填空题：

4、(07福建)已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______；

5、(07江苏)在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____；

6、(06上海)已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 　　　　　　　　　　　　　　。

(一)选择题：

1、(06全国Ⅱ)已知△的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是(　 )

A、2　　　　　　 B、6　　　　　 C、4　　　　 D、12

2、(06辽宁)曲线与曲线的

A、焦距相等　　 B、离心率相等　　 C、焦点相同　 D、准线相同

3、(05广东)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则(　　 )

　 A、　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　　 D、

例1、(08上海春)已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于　 　　(　　 )

　 A、　　　　 　B、　　　　　 C、　　　　　 D、

例2、(07山东21)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左、右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：，，

，，

．

椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)设，，

联立

得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

，即，

，

，

．

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

例3、(07上海春18)如图，在直角坐标系中，设椭圆

的左右两个焦点分别为　 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为　(1) 求椭圆的方程；

(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积。

(1) [解法一] 轴，　 的坐标为　　　　　　 　　　　…… 2分

　 由题意可知 　得

　　 　所求椭圆方程为　　 …… 6分

[解法二]由椭圆定义可知

　 由题意，　　　　　 　　　　…… 2分

　　　 又由△可知　 ，，

　　　 ，又，得　

　　　 　椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 　…… 6分

[解] (2) 直线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 8分

由 　得点的纵坐标为　 　　　　　　　　　　　　　…… 10分

又，　　　　　　　　 …… 14分

例4、(06四川)如图把椭圆的长轴分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，是椭圆的一个焦点，则____________．

例5、(05全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　 )

A、　　　 　　　　B、　　　 　　　C、　　 　　D、

例6、(05上海19)如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，．(1)求点的坐标；(2)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值．

[解](1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)

设点P的坐标是，由已知得

由于

(2)直线AP的方程是

设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是，

于是

椭圆上的点到点M的距离d有

由于

例7、(05湖南19)已知椭圆：+＝1()的左．右焦点为，离心率为. 直线与轴．轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设＝。(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)确定的值，使得是等腰三角形。

(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　　 所以点M的坐标是().　　 由

即

　　 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　　 因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 (Ⅱ)解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

　　 设点F₁到l的距离为d，由

　　 得　 所以

　　 即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得　 从而

于是.　　 即当时，△PF₁F₂为等腰三角形。

(三)解答题：

11、(07安徽)如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．

(Ⅰ)求点的横坐标与点的横坐标的关系式；(Ⅱ)设曲线上点的横坐标为，

求证：直线的斜率为定值。

12、(06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为。观测点同时跟踪航天器。

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

[解](1)设曲线方程为，　 由题意可知，.　 .　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　 　曲线方程为.　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　……6分

　 (2)设变轨点为，根据题意可知

　　 　　　得 ，

或(不合题意，舍去).

　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　……9分

　得 或(不合题意，舍去).　 点的坐标为，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　　　 .

答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

13、(04全国Ⅱ21)给定抛物线：，是的焦点，过点的直线与相交于两点．(Ⅰ)设的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求在轴上截距的变化范围。

解：(I)C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.

将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则有x₁+x₂=6,x₁x₂=1，

=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3.

cos<>=

所以与夹角的大小为-arccos。

解：(II)由题设知得：(x₂-1,y₂)=λ(1-x₁,-y₁)，即

由 (2)得y₂²=λ²y₁², ∵y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,∴x₂=λ²x₁……………………………………(3)

联立(1)(3)解得x₂=λ.依题意有λ>0.

∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),

得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)

当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为或-

由=，可知在[4，9]上是递减的，

∴，--

直线l在y轴上截距的变化范围是。

(二)填空题：

8、(07广东)在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是　　　　　 ；

9、(06福建)已知直线与抛物线相切，则

10、(05重庆16)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是　　　　 (填写所有正确选项的序号)。①菱形　 ②有3条边相等的四边形　 ③梯形　　 ④平行四边形　　 ⑤有一组对角相等的四边形。