摘要：由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: + =1 (Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ∴| |2= x2-1++5≥4+5=9.且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号. 故||的最小值为3. 例4. 在平面直角坐标系中.抛物线上异于坐标原点的两不同动点满足求得重心(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程,(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在.请求出最小值,若不存在.请说明理由. [答案] 解法一: (Ⅰ)∵直线的斜率显然存在.∴设直线的方程为. .依题意得 .① ∴.② ③ ∵.∴.即 .④ 由③④得..∴ ∴设直线的方程为 ∴①可化为 .∴ ⑤. 设的重心G为.则 ⑥ . ⑦. 由⑥⑦得 .即.这就是得重心的轨迹方程． (Ⅱ)由弦长公式得 把②⑤代入上式.得 . 设点到直线的距离为.则. ∴ . ∴ 当.有最小值. ∴的面积存在最小值.最小值是 ． 解法二: (Ⅰ)∵ AO⊥BO, 直线.的斜率显然存在. ∴设AO.BO的直线方程分别为.. 设..依题意可得 由得 .由得 . 设的重心G为.则 ① . ②. 由①②可得..即为所求的轨迹方程. 得... ∴ . 当且仅当.即时.有最小值. ∴的面积存在最小值.最小值是 . 解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) .A(x1, y1).B(x2 , y2 ).则 -(1) 不过∵OA⊥OB . ∴.即. -(2) 又点A.B在抛物线上.有. 代入(2)化简得. ∴. ∴所以重心为G的轨迹方程为. (II). 由(I)得. 当且仅当即时.等号成立. 所以△AOB的面积存在最小值.存在时求最小值1 .

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