摘要：例1.已知椭圆.长轴在轴上. 若焦距为.则等于 ( ) A. B. C. D. 例2.已知椭圆的中心在坐标原点.焦点在轴上.椭圆上的点到焦点距离的最大值为.最小值为． (Ⅰ)求椭圆的标准方程, (Ⅱ)若直线与椭圆相交于.两点(不是左.右顶点).且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线过定点.并求出该定点的坐标. 解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为. 由已知得:.. .. ． 椭圆的标准方程为． (Ⅱ)设.. 联立 得. 又. 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点. .即. . . ． 解得: ..且均满足. 当时.的方程为.直线过定点.与已知矛盾, 当时.的方程为.直线过定点． 所以.直线过定点.定点坐标为． 例3.如图.在直角坐标系中.设椭圆 的左右两个焦点分别为 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交.其中一个交点为 (1) 求椭圆的方程, (2) 设椭圆的一个顶点为.直线交椭圆于另一点.求△的面积. (1) [解法一] 轴. 的坐标为 -- 2分 由题意可知 得 所求椭圆方程为 -- 6分 [解法二]由椭圆定义可知 由题意. -- 2分 又由△可知 .. .又.得 椭圆的方程为 -- 6分 [解] (2) 直线的方程为 -- 8分 由 得点的纵坐标为 -- 10分 又. -- 14分 例4.如图把椭圆的长轴分成8分.过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,,--七个点.是椭圆的一个焦点.则 ． 例5.设椭圆的两个焦点分别为.过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点.若为等腰直角三角形.则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 例6.如图.点.分别是椭圆长轴的左.右端点.点是椭圆的右焦点.点在椭圆上.且位于轴上方.．(1)求点的坐标,(2)设是椭圆长轴上的一点.到直线的距离等于.求椭圆上的点到点的距离的最小值． [解].F(4.0) 设点P的坐标是.由已知得 由于 (2)直线AP的方程是 设点M的坐标是(m.0).则M到直线AP的距离是. 于是 椭圆上的点到点M的距离d有 由于 例7.已知椭圆:+＝1()的左．右焦点为.离心率为. 直线与轴．轴分别交于点.是直线与椭圆的一个公共点.是点关于直线的对称点.设＝.(Ⅰ)证明:,(Ⅱ)确定的值.使得是等腰三角形. (Ⅰ)证法一:因为A.B分别是直线l:与x轴.y轴的交点.所以A.B的坐标分别是. 所以点M的坐标是(). 由 即 证法二:因为A.B分别是直线l:与x轴.y轴的交点.所以A.B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上.所以 即 解得 (Ⅱ)解法一:因为PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角.要使△PF1F2为等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|.即 设点F1到l的距离为d.由 得 所以 即当△PF1F2为等腰三角形. 解法二:因为PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角.要使△PF1F2为等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|. 设点P的坐标是. 则 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2.化简得 从而 于是. 即当时.△PF1F2为等腰三角形.
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