7、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

　　 ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：(1)证：,∵a＞1，∴＞0，

　　　　　 ∴原不等式成立 (6¢)

　 　(2)∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽

　　　　 为a＞0且a¹1 (9¢)

　 (3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)

　　　 证：左式-右式= (14¢)

　　　 若a＞1，则由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

　　　 若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)

6、已知函数的最大值为正实数，集合

，集合。

(1)求和；

(2)定义与的差集：且。

设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。

(3)若函数中，， 是(2)中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。

解：(1)∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分

　　　　 ∴，。…………………………6分

　 (2)要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。…………………………………………………9分

②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分

(3)由(2)知…………………………13分

　 ………………………………………………18分

5、已知两个向量， .

(1)若t=1且，求实数x的值；．

(2)对tÎR写出函数具备的性质.

解：(1)由已知得　　　　　　　　　　 　　　　　　……2分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

解得，或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(2)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　……8分

具备的性质：

①偶函数；

②当即时，取得最小值(写出值域为也可)；

③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点(，)等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

．

4、(理)已知为正常数。

　 (1)可以证明：定理“若、，则(当且仅当时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论(无需证明)；

　 (2)若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性(无需证明)；

　 (3)对满足(2)的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

(文)已知函数，，

(Ⅰ)当时，若在上单调递增，求的取值范围；

(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

(理)解：(1)若、、，则(当且仅当时取等号)。

　 (2)在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即时，

，

又∵，∴。　　　　　 综上，得 。

　 易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，

∴时，函数有最小值。

故猜测：时，单调递减；时，单调递增。

(3)依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。

　　 如对，，此时

，

　 即 　。

(文)解：(Ⅰ)当时，，

若，，则在上单调递减，不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。

(Ⅱ)若，，则无最大值，故，

∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

又取最小值时，，依题意，有，则，

∵且，∴，得，此时或。

∴满足条件的实数对是。

(Ⅲ)当实数对是时，

依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。

如对，，

此时，，

故

3、(12′=9′+3′)(理)设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式　 对任意恒成立的的集合。(1)求；(2)试写出一个解集为的不等式。

(文)设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。(1)求；(2)试写出一个解集为的不等式。

解：(理)(1)∵幂函数在上是增函数，∴，即，

　　　　　　 又不等式对任意恒成立，∴，即，

　　　　　　 ∴ 。

　　　　 (2)一个解集为的不等式可以是 　。

　 (文)(1)∵幂函数在上是增函数，∴，即，

　　　　　　　　 又不等式对任意恒成立，∴，即，

　　　　　　 ∴ 。

　　　　 (2)一个解集为的不等式可以是 　。

2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为．

(Ⅰ)试解释的实际意义；

(Ⅱ)现有a(a＞0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．

解：(I)f(0)=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇

　 (Ⅱ)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后．残留的农药量为 W₁=1×f(a)=；……………………………………………………………………4＇

又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f()=，

此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为

W₂=·f()=[]²=．……………………………8＇

由于W₁－W₂=－=，………………………9＇

故当a>2时，W₁>W₂，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W₁=W₂，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W₁<W₂，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………………12＇

22．(本小题满分14分)

　　 已知函数

　　 (Ⅰ)若

　　 (Ⅱ)若

　　 (Ⅲ)若

的大小关系(不必写出比较过程).

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)设

……6分

(Ⅲ)在题设条件下，当k为偶数时

当k为奇数时……14分

21．(本小题满分12分)

垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P(x₀，y₀)

(Ⅰ)证明：

(Ⅱ)过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解(Ⅰ)证明：

　　①

直线A₂N的方程为　　 ②……4分

①×②，得

(Ⅱ)

……10分

当……12分

3．唐山二模

22．(本小题满分14分)

(理)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(文)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(理)解：设公差为，则．　3分

　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　14分

(文)解：设公差为，则．　　3分

，　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　14分