2．大连二模

20. (本题满分14分)

　　 已知直线与曲线交于两点A、B。

　　 (1)设，当时，求点P的轨迹方程；

　　 (2)是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

　　 (3)是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

解：(1)设，则

　　 由消去y，得：

　　 依题意有解得：

　　 且，即或且

　　 ∴点P的坐标为：消去m，得：

　　 ，即

　　 由，得

　　 ，解得或

　　 ∴点P的轨迹方程为(或)………………5分

　　 (2)假设存在这样的常数a

　　 由消去y得：

　　 解得：

　　 当时，，且方程<2>判别式

　　 ∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分

　　 (3)假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。

　　 即

　　 即

　　 化简，得：

　　 ∵a为任意正实数

　　 ，即，矛盾。

　　 故这样的常数m不存在。………………14分

1．北京宣武区二模

19 (本题满分14分)

　　 已知点满足：，且已知

　　 (1)求过点的直线的方程；

　　 (2)判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；

(3)求点的极限位置。　　　　　

解：(1)由，得：

　　 显然直线的方程为………………3分

　　 (2)由，得：

　　 ∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：

　　 当n＝2时，点

　　 假设当时，点，即

　　 当时，

　　 ∴点

　　 综上，点………………8分

　　 (3)由，得：

　　 ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列

　　 即点的极限位置为点P(0，1)………………14分

3．北京朝阳二模

(19)(本小题满分13分)

　　 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。

　　 (I)求证：；

　 　(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

　　 (III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。

解：(I)

　　 右准线，渐近线

　　 　　　　　 ……3分

　　 (II)

　　 双曲线C的方程为：　　 　　　　　　　　 　 ……7分

　　 (III)由题意可得　　　　　 　　　　　　　　 　 ……8分

　　 证明：设，点

　　 由得

　　 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　……11分

　　 ，得

的取值范围是(0，1)　　　　　　　　 　　　　　　　 ……13分

　 (20)(本小题满分13分)

　　 已知函数，数列满足

　　 (I)求数列的通项公式；

　　 (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

　　 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。

　　 (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。

解：(I)

　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　……1分

　　 ……

　　 将这n个式子相加，得

　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

　　　　　　　　　　 　　　　　　 ……6分

　　 (III)设满足条件的正整数N存在，则

　　 又

　　 均满足条件

　　 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。

　　 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

　　 中满足条件的正整数N存在，共有495个，　　　 ……9分

　　 (IV)设，即

　　 则

　　 显然，其极限存在，并且　　 ……10分

　　 注：(c为非零常数)，等都能使存在。

21．(本小题满分14分)

已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有(为大于1的常数)，记．

(1) 求；

(2) 试比较与的大小()；

(3) 求证：，()．

解：(1) ∵，　　　　　　 ①

∴．　　　　　 ②

②－①，得

，

即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

在①中令，可得．

∴是首项为，公比为的等比数列，．　　　　　 (4分)

(2) 由(1)可得

．

．

∴，　　　　　　 (5分)

．

而，且，

∴，．

∴，()．　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

(3) 由(2)知 ，，()．

∴当时，．

∴

，　　　　　　 (10分)

(当且仅当时取等号)．

另一方面，当，时，

．

∵，∴．

∴，　　　　　　　　　 (13分)

(当且仅当时取等号)．

∴．

(当且仅当时取等号)．

综上所述，，()．(14分)

20．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．

(1) 求双曲线的方程；

(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线的方程为，

则．

由，得，即．

∴　　　　　　　 (3分)

解之得，∴．

∴双曲线的方程为．　　　 (5分)

(2) 设在轴上存在定点，使．

设直线的方程为，．

由，得．

即　　　　　　　　　 ①　　　 (6分)

∵，

，

∴．

即．　 ②　　　 (8分)

把①代入②，得

　 ③　　　 (9分)

把代入并整理得

其中且，即且．

　 ．　　　　　　　　　　　　　 (10分)

代入③，得

　 ，

化简得 ．

当时，上式恒成立．

因此，在轴上存在定点，使．　　　　 (12分)

2．扬州二模

22．(本小题满分14分)

设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立

又　　　　 为所求。…………………………4分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………14分

1．泉州模拟

21(本小题满分12分)

过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，

(1)求点P的轨迹方程；

(2)已知点F(0，1)，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

解法(一)：(1)设

由得：

………………………………3分

直线PA的方程是：即　　 ①　

同理，直线PB的方程是：　　　　　　　　　 ②

由①②得：

∴点P的轨迹方程是……………………………………6分

(2)由(1)得：

　…………………………10分

所以

故存在=1使得…………………………………………12分

解法(二)：(1)∵直线PA、PB与抛物线相切，且

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且

设PA的直线方程是

由得：

即…………………………3分

即直线PA的方程是：

同理可得直线PB的方程是：

由得：

故点P的轨迹方程是……………………………………6分

(2)由(1)得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分

　　 又MN⊥MQ，所以

　　 直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分

　　 从而得所以

　 代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.………………13分