20. (本题14分)

　　　 已知定点，动点满足，线段与圆：交于点，过点作直线垂直于轴，过点作，垂足为，

　　　 (Ⅰ)求动点的轨迹方程

(Ⅱ)求点的轨迹方程。

(III)过点作直线m，与点的轨迹交于M、N两点，C为点的轨迹上不同于M、N的任意一点，问是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由。

解：(Ⅰ)根据题意动点的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

(Ⅱ)设，，，　　　　　　　 ……4分

根据题意有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

点的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

(III)设，由椭圆是中心对称图形，，

　 ，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

又点都在椭圆上，

所以 　

　 即是一个定值。　　　　　　　　　　　　　 ……14分

注：以上解答题若有其它解法请按步骤相应给分

19. (本题14分)

　　　 数列中，，是的前项和，且，。

　　　 (Ⅰ)求数列的通项公式

　　　 (Ⅱ)若，求数列的通项公式

　　　 (III)若，求数列的前项和

解：(Ⅰ)由，得

　　　 所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　　 (Ⅱ)由，，利用叠加法得　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　 (III)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

　　　　　　　 　　　　　　　　 ①

　　　　　　　 　 ②

　　　 ①－②得

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

18. (本题13分)

春运期间，火车站要对5节车厢进行编组，其中1、2号为卧铺车厢，3号为餐车车厢，4、5号为硬座车厢。编组规则是：卧铺车厢不能分开，硬座车厢也不能分开，卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开。

　　　 (Ⅰ)问恰好按照车号1至5排序的编组概率是多少？

　　　 (Ⅱ)卧铺车厢在前，硬座车厢在后的编组概率是多少？

解：根据题意，车厢编组的结果一共有8种可能：(1，2，3，4，5)，(1，2，3，5，4)，

(2，1，3，4，5)，(2，1，3，5，4)，(5，4，3，2，1)，(5，4，3，1，2)，

(4，5，3，2，1，)，(4，5，3，1，2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

恰好按照车号1至5排序的编组概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　 卧铺车厢在前，硬座车厢在后的编组概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

17. (本题13分)

　　　 如图，在正四棱柱中，

棱长，是的中点。

　　　 (Ⅰ)求证：平面

　　　 (Ⅱ)求点到平面的距离

(Ⅰ)证明：连结，交于，连结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

　　　 正四棱柱中，底面是正方形

　　　 点是的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 又是的中点　 是的中位线　 　　　　　　　　　　 ……4分

　　　 平面，平面，平面　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)解：过点作，垂足为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……7分

　　　 正四棱柱中，底面是正方形

　　　 ，平面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

又　　　　　 平面　 　　　　　　 ……10分

　　　 又，　 平面　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　　 在中，，，

　　　 　 即点到平面的距离是　　　　　　　　　　　 ……13分

16. (本题13分)　　　

已知函数

　　　　　　　　　　 (Ⅰ)求在处的切线方程

　　　　　　　　　　 (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值

解：(Ⅰ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　　 ，切点坐标　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　　　　　　 切线斜率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　　　　　　 在处的切线方程为即　　　　　　 ……6分

　　　　　　　 (Ⅱ)令，解得或　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　　　　　 在区间上的关系如下表　　　　　　　　　　 ……10分

	0				1		2
		+	0	－	0	+
	1	↗	极大值	↘	极小值1	↗	3

　　　　　　　 因此 在区间上的最大值是 3　 最小值是1　　　　　　　 ……13分

15.(本题13分)

已知向量

　　　 (Ⅰ)若，求

(Ⅱ)，求的周期和最小值

解：(Ⅰ)　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　　 (Ⅱ)　 ……9分

　　　 的周期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　 当时，函数有最小值　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

20. (本小题满分14分)

　　　 已知定点，动点满足，线段与圆：交于点，过点作直线垂直于轴，过点作，垂足为．

　　　 (Ⅰ)求动点的轨迹方程；

(Ⅱ)求点的轨迹方程；

(III)过点作直线m，与点的轨迹交于M、N两点，C为点的轨迹上不同于M、N的任意一点，问是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

门头沟区2010年高三年级抽样测试数学(文史类)标准答案及评分标准

19. (本小题满分14分)

　　　 数列中，，是的前项和，且，．

　　　 (Ⅰ)求数列的通项公式；

　　　 (Ⅱ)若，求数列的通项公式；

　　　 (III)若，求数列的前项和．

18. (本小题满分13分)

春运期间，火车站要对5节车厢进行编组，其中1、2号为卧铺车厢，3号为餐车车厢，4、5号为硬座车厢。编组规则是：卧铺车厢不能分开，硬座车厢也不能分开，卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开．

　　　 (Ⅰ)问恰好按照车号排序的编组概率是多少？

　　　 (Ⅱ)卧铺车厢在前，硬座车厢在后的编组概率是多少？

17. (本小题满分13分)

　　　 如图，在正四棱柱中，

棱长，是的中点．

　　　 (Ⅰ)求证：平面；

　　　 (Ⅱ)求点到平面的距离．