7．若a, b∈R⁺，则a+b=1，以下结论成立是__________.① a⁴+b⁴≥；②≤a³+b³<1；③；④；⑤；⑥

6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

5．若不等式x+a的解是x>m，则m的最小值是____________.

4．若不等式对所有实数x成立，则a的取值范围是____________.

3．已知a, b, c∈R，且a²+b²+c²=1, ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.

2．已知x∈R⁺，则的最小值是____________.

1．已知0<x<1，a, b∈R⁺，则的最小值是____________.

2．几个常用的不等式。

(1)柯西不等式：若a_i∈R, b_i∈R, i=1, 2, …, n，则

等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, a_i=λb_i,

变式1：若a_i∈R, b_i∈R, i=1, 2, …, n，则

等号成立条件为a_i=λb_i,(i=1, 2, …, n)。

变式2：设a_i, b_i同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则

等号成立当且仅当b₁=b₂=…=b_n.

(2)平均值不等式：设a₁, a₂,…,a_n∈R₊，记H_n=, G_n=, A_n=，则H_n≤G_n≤A_n≤Q_n. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a₁=a₂=…=a_n.

[证明]　 由柯西不等式得A_n≤Q_n，再由G_n≤A_n可得H_n≤G_n，以下仅证G_n≤A_n.

1)当n=2时，显然成立；

2)设n=k时有G_k≤A_k，当n=k+1时，记=G_k+1.

因为a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+(k-1)G_k+1≥

≥2kG_k+1,

所以a₁+a₂+…+a_k+1≥(k+1)G_k+1，即A_k+1≥G_k+1.

所以由数学归纳法，结论成立。

(3)排序不等式：若两组实数a₁≤a₂≤…≤a_n且b₁≤b₂≤…≤b_n，则对于b₁, b₂, …, b_n的任意排列，有a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁≤≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

[证明]　 引理：记A₀=0，A_k=，则 =(阿贝尔求和法)。

证法一：因为b₁≤b₂≤…≤b_n，所以≥b₁+b₂+…+b_k.

记s_k=-( b₁+b₂+…+b_k)，则s_k≥0(k=1, 2, …, n)。

所以-(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)= +s_na_n≤0.

最后一个不等式的理由是a_j-a_j+1≤0(j=1, 2, …, n-1, s_n=0),

所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：(调整法)考察，若，则存在。

若(j≤n-1)，则将与互换。

因为

≥0，

所 调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

例15　 已知a₁, a₂,…,a_n∈R⁺，求证；a₁+a₂+…+a_n.

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

1．不等式证明的基本方法。

(1)比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把(A，B>0)与1比较大小，最后得出结论。

例1　 设a, b, c∈R⁺，试证：对任意实数x, y, z, 有x²+y²+z²

例2　 若a<x<1，比较大小：|log_a(1-x)|与|log_a(1+x)|.

(2)分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

例3　 已知a, b, c∈R⁺，求证：a+b+c-3≥a+b

(3)数学归纳法。

例5　 对任意正整数n(≥3)，求证：nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ.

(4)反证法。

例6　 设实数a₀, a₁,…,a_n满足a₀=a_n=0，且a₀-2a₁+a₂≥0, a₁-2a₂+a₃≥0,…, a_n-2-2a_n-1+a_n≥0，求证a_k≤0(k=1, 2,…, n-1).

(5)分类讨论法。

例7　 已知x, y, z∈R⁺，求证：

(6)放缩法，即要证A>B，可证A>C₁, C₁≥C₂,…,C_n-1≥C_n, C_n>B(n∈N₊).

例8　 求证：

例9　 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：

(7)引入参变量法。

例10　 已知x, y∈R⁺, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=的最小值。

例11　 设x₁≥x₂≥x₃≥x₄≥2, x₂+x₃+x₄≥x₁，求证：(x₁+x₂+x₃+x₄)²≤4x₁x₂x₃x₄.

(8)局部不等式。

例12　 已知x, y, z∈R⁺，且x²+y²+z²=1，求证：

例13　 已知0≤a, b, c≤1，求证：≤2。

(9)利用函数的思想。

例14　 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。

不等式的基本性质：

(1)a>ba-b>0；　　　 (2)a>b, b>ca>c；

(3)a>ba+c>b+c；　 (4)a>b, c>0ac>bc；

(5)a>b, c<0ac<bc;　 (6)a>b>0, c>d>0ac>bd;

(7)a>b>0, n∈N₊aⁿ>bⁿ;　 (8)a>b>0, n∈N₊;

(9)a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a;

(10)a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

(11)a, b∈R，则(a-b)²≥0a²+b²≥2ab;

(12)x, y, z∈R⁺，则x+y≥2, x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

(6)因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质(6)，可得性质(7)；再证性质(8)，用反证法，若，由性质(7)得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知(9)成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证(10)的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以(10)成立；(11)显然成立；下证(12)，因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x³+b³+c³-3abc =(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc =(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0，所以a³+b³+c³≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。