摘要：不等式的基本性质: (1)a>ba-b>0, (2)a>b, b>ca>c, (3)a>ba+c>b+c, (4)a>b, c>0ac>bc, (5)a>b, c<0ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+an>bn; (8)a>b>0, n∈N+; (9)a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a; (10)a, b∈R.则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; 2≥0a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈R+.则x+y≥2, x+y+z 前五条是显然的.以下从第六条开始给出证明. (6)因为a>b>0, c>d>0.所以ac>bc, bc>bd.所以ac>bd,重复利用性质,再证性质(8).用反证法.若.由性质(7)得.即a≤b.与a>b矛盾.所以假设不成立.所以,由绝对值的意义知(9)成立,-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|.所以-≤a+b≤|a|+|b|.所以|a+b|≤|a|+|b|,下面再证(10)的左边.因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|.所以|a|-|b|≤|a+b|.所以显然成立,下证(12).因为x+y-2≥0.所以x+y≥.当且仅当x=y时.等号成立.再证另一不等式.令.因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab2-(a+b)c+c2]-3ab(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0.所以a3+b3+c3≥3abc.即x+y+z≥.等号当且仅当x=y=z时成立.

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