2．适合-2cscx的角的集合为___________。

1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。

7．三角公式的应用。

例11　 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

例12　 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。

例13　 求证：tan20+4cos70.

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).

由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。

例10　 例10　 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

5．换元法的使用。

例8　 求的值域。

例9　 已知a₀=1, a_n=(n∈N₊)，求证：a_n>.

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

4．三角最值问题。

例5　 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。

例6　 设0<<π，求sin的最大值。

例7　 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。

注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

3．最小正周期的确定。

例4　 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

1．结合图象解题。

例1　 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

2三角函数性质的应用。

例2　 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

例3　 已知α，β为锐角，且x·(α+β-)>0，求证：

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

定义1　 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2　 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3　 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为(x,y)，到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=

定理1　 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin²α+cos²α=1, tan²α+1=sec²α, cot²α+1=csc²α.

定理2　 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变，符号看象限)。

定理3　 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点(k, 0)均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理4　 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为(-∞，+∞)，点(kπ，0)，(kπ+，0)均为其对称中心。

定理6　 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=

定理7　 和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8　 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α,

tan2α=

定理9　 半角公式:sin=,cos=,

tan==

定理10　 万能公式: , ,

定理11　 辅助角公式：如果a, b是实数且a²+b²0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.

asinα+bcosα=sin(α+β).

定理12　 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13　 余弦定理：在任意△ABC中有a²=b²+c²-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14　 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换)；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象(周期变换)；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象(振幅变换)；y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换)；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象(振幅变换)；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。　

定义4　 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15　 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)ⁿarcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

定理16　 若，则sinx<x<tanx.

9.已知n个正整数a₀,a₁,…，a_n和实数q，其中0<q<1，求证：n个实数b₀,b₁,…，b_n和满足：(1)a_k<b_k(k=1,2,…,n)；

(2)q<<(k=1,2,…,n)；

(3)b₁+b₂+…+b_n<(a₀+a₁+…+a_n).