4. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.
3. 数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.
2. 数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.
1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.
5．构造等差或等比数列。
例11 正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。
例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。
4．特征方程法。
例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知an=(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.
例7 求和：+…+
例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列的前n项和，求证：Sn<2。
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1)0，3，8，15，24，35，…；2)1，5，19，65，…；3)-1，0，3，8，15，…。
例2 已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.
例3 设0<a<1，数列{an}满足an=1+a, an-1=a+，求证：对任意n∈N+,有an>1.
2迭代法。
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得·an+
例5 已知a1=0, an+1=5an+，求证：an都是整数，n∈N+.
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.
定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d(常数)，则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 等差数列的性质：1)通项公式an=a1+(n-1)d；2)前n项和公式：Sn=；3)an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4)若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5)对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6)若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1)an=a1qn-1；2)前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3)如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4)若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：(1)p(n0)成立；(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由(1)，(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：(1)p(n0)成立；(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立，则由(1)，(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
9．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f成立。
+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.
，xn+1=
,则{xn}的通项xn=_________.
=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。
,n∈N+,
求通项。
(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.
+…+
的前n项和，求证：Sn<2。
，求证：对任意n∈N+,有an>1.
迭代法。
0，求证：存在常数c，使得
·an+
，求证：an都是整数，n∈N+.
；3)an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4)若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5)对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6)若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
；当q=1时，Sn=na1；3)如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b
>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<
(由极限的定义可得)。
成立。