6．在平面给定点A₀和n个向量a₁，a₂，…，a_n，且使a₁+a₂+…+a_n =0。这组向量的每一个排列都定义一个点集：A₁，A₂，…，A_n=A₀，使得

求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A₁，A₂，…，A_n-1都在以A₀为角顶的某个60⁰角的内部和边上。

5．空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？

4．给定正整数n，已知克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，…，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。

3．求证：存在无穷多个正整数n，使得可将3n个数1, 2,…, 3n排成数表

a₁, a₂…a_n

b₁, b₂…b_n

c₁, c₂…c_n

满足：(1)a₁+b₁+c₁= a₂+b₂+c₂=…= a_n+b_n+c_n=，且为6的倍数。

(2)a₁+a₂+…+a_n= b₁+b₂+…+b_n= c₁+c₂+…+c_n=，且为6的倍数。

2．21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，(1)每一个参赛者最多解出6道题；(2)对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。

1．药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？(证明或否定)

8．图论方法。

例10　 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。

[证明]　 用点A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻(即无公共顶点)。因为每个顶点的次数≥3，所以可以找到两条边不相邻，设为A₁A₂，A₃A₄。

(1)若A₅与A₆连有一条边，则A₁A₂，A₃A₄，A₅A₆对应的三种双色布满足要求。

(2)若A₅与A₆之间没有边相连，不妨设A₅和A₁相连，A₂与A₃相连，若A₄和A₆相连，则A₁A₂，A₃A₄，A₅A₆对应的双色布满足要求；若A₄与A₆不相连，则A₆与A₁相连，A₂与A₃相连，A₁A₅，A₂A₆，A₃A₄对应的双色布满足要求。

综上，命题得证。

7．赋值方法。

例9　 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖5×7的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。

[解]　 将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。

6．凸包的使用。

给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。

例8　 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。

[证明]　 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。

5．染色法。

例7　 能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？

[解]　 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。