3．利用二次函数的性质。

例3　 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。

2．方程的思想。

例2　 已知f(x)=ax²-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。

1．待定系数法。

例1　 设方程x²-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x₀时，f(x)取最小值f(x₀)=,若a<0，则当x=x₀=时，f(x)取最大值f(x₀)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)，当x₀∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x₀); 当x₀<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x₀>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义1　 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1　 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2　 原命题：若p则q(p为条件，q为结论)；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

注2　 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3　 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3　 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax²+bx+c=0…①和不等式ax²+bx+c>0…②及ax²+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下(记△=b²-4ac)。

1)当△>0时，方程①有两个不等实根，设x₁,x₂(x₁<x₂)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x₁或x>x₂}和{x|x₁<x<x₂}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x₁)(x-x₂).

2)当△=0时，方程①有两个相等的实根x₁=x₂=x₀=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

3)当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

1．二次函数：当0时，y=ax²+bx+c或f(x)=ax²+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x₀)²+f(x₀)，其中x₀=-，下同。

2　 二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间(-∞，x₀]上随自变量x增大函数值减小(简称递减)，在[x₀, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a<0时，情况相反。 　

9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。

8．集合，试作出X的三元子集族&，满足：

(1)X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；

(2)。

7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。

6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。