4．构造法。

例5　 是否存在一个无穷正整数数列a₁,<a₂<a₃<…，使得对任意整数A，数列中仅有有限个素数。

[证明]　 存在。取a_n=(n!)³即可。当A=0时，{a_n}中没有素数；当|A|≥2时，若n≥|A|，则a_n+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=±1时，a_n±1=(n!±1)•[(n!)²±n!+1]，当≥3时均为合数。从而当A为整数时，{(n!)³+A}中只有有限个素数。

例6　 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。

[证明]　 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数(因为棱总数为偶数)，对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。

3.不变量原理。

俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。

例3　 设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。

[证明]　 设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。

例4　 数a₁, a₂,…,a_n中每一个是1或-1，并且有S=a₁a₂a₃a₄+ a₂a₃a₄a₅+…+a_na₁a₂a₃=0. 证明：4|n.

[证明]　 如果把a₁, a₂,…,a_n中任意一个a_i换成-a_i，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个a_i都变成1，而始终有S≡0(mod4)，从而有n≡0(mod4)，所以4|n。

1．抽屉原理。

例1　 设整数n≥4,a₁,a₂,…,a_n是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a₁,a₂,…,a_n}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。　

[证明]　 (1)若n{a₁,a₂,…,a_n},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数a_i,a_j(i≠j)属于同一集合，从而a_i+a_j=2n被2n整除；

(2)若n∈{a₁,a₂,…,a_n}，不妨设a_n=n，从a₁,a₂,…,a_n-1(n-1≥3)中任意取3个数a_i, a_j, a_k(a_i,<a_j< a_k)，则a_j-a_i与a_k-a_i中至少有一个不被n整除，否则a_k-a_i=(a_k-a_j)+(a_j-a_i)≥2n，这与a_k∈(0,2n)矛盾，故a₁,a₂,…,a_n-1中必有两个数之差不被n整除；不妨设a₁与a₂之差(a₂-a₁>0)不被n整除，考虑n个数a₁,a₂,a₁+a₂,a₁+a₂+a₃,…,a₁+a₂+…+a_n-1。

ⅰ)若这n个数中有一个被n整除，设此数等于k_n，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上a_n=n知结论成立。

ⅱ)若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a₂-a₁不被n整除，故这个差必为a_i, a_j, a_k-1中若干个数之和，同ⅰ)可知结论成立。

2 极端原理。

例2　 在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明：表中所有数之和不小于。

[证明]　 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)²，其余各列的数的总和不小于k²，从而表中所有数的总和不小于(n-k)²+k²≥

9．设a,b,c,d∈N₊,且a>b>c>d,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。证明：ab+cd不是素数。

8．设x是一个n位数，问：是否总存在非负整数y≤9和z使得10ⁿ⁺¹z+10x+y是一个完全平方数？证明你的结论。

7.对于正整数a,n,定义F_n(a)=q+r，其中q,r为非负整数，a=qn+r且0≤r≤n，求最大正整数A，使得存在正整数n₁,n₂,…,n₆，对任意正整数a≤A，都有=1，并证明你的结论。

6．求最小的正整数n(≥4)，满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a,b,c,d使20|(a+b-c-d).

5．求证：存在一个具有如下性质的正整数的集合A，对于任何由无限多个素数组成的集合，存在k≥2及正整数m∈A和nA，使得m和n均为S中k个不同元素的乘积。

4．求所有的正整数n，使得存在正整数m,(2ⁿ-1)|(m²+9).

3．确定所有的正整数数对(x,y)，使得x≤y，且x²+1是y的倍数，y²+1是x的倍数。