21.(本小题满分13分)

如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中点, P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;

(Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,

若△OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围.

[解](Ⅰ)方法一:以O为原点,AB、OD所在直线分别

为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则

点A(-2,0),B(2,0),P(,1).                      (2分)

设双曲线实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则

2a=|PA|-|PB|=,2c=|AB|=4.   (3分)

所以a=,c=2,从而b2=c2-a2=2.                     (4分)

故双曲线C的方程是.                        (5分)

方法二:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则

点A(-2,0),B(2,0),P(,1).                      (2分)

设双曲线C的方程为>0,b>0),则.        (3分)

解得a2=b2=2,故双曲线C的方程是                (5分)

(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程得,,即

(1-k2)x2-4kx-6=0.                              (6分)

因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,则

   即               (7分)

设点E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=.            (8分)

所以|EF|=

=          (9分)

又原点O到直线l的距离d=.                     (10分)

所以S△DEF=     (11分)因为S△OEF,则(12分)

综上分析,直线l的斜率的取值范围是[-,-1)(-1,1)(1,].     (13分)

20.(本小题满分13分)

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元-1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.

(Ⅰ)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求;

(Ⅱ)现有两个奖励函数模型:(1)y=;(2)y=4lgx-3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

[解](Ⅰ)设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:

当x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③恒成立.   (3分)

(Ⅱ)(1)对于函数模型:

当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则.

所以f(x)≤9恒成立.                              (5分)

因为函数在[10,1000]上是减函数,所以.

从而,即不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.                          (8分)

(2)对于函数模型f(x)=4lgx-3:

当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则. 

所以f(x)≤9恒成立.                             (10分)

设g(x)=4lgx-3-,则.

当x≥10时,,所以g(x)在[10,1000]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=-1<0.所以4lgx-3-<0,即4lgx-3<,所以恒成立.

故该函数模型符合公司要求.                          (13分)

 0  303786  303794  303800  303804  303810  303812  303816  303822  303824  303830  303836  303840  303842  303846  303852  303854  303860  303864  303866  303870  303872  303876  303878  303880  303881  303882  303884  303885  303886  303888  303890  303894  303896  303900  303902  303906  303912  303914  303920  303924  303926  303930  303936  303942  303944  303950  303954  303956  303962  303966  303972  303980  447090 

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