(二)典型例题
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)
解:原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象(如下):
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x)=2x+3x-7 |
-6 |
-2 |
3 |
10 |
21 |
40 |
75 |
142 |
![]()
|
区间 |
中点的值 |
中点函数近似值 |
|
(1,2) |
1.5 |
0.33 |
|
(1,1.5) |
1.25 |
-0.87 |
|
(1.25,1.5) |
1.375 |
-0.28 |
|
(1.375,1.5) |
1.4375 |
0.02 |
|
(1.375,1.4375) |
|
|
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
巩固练习:(教材P106练习1)
(一)用二分法求方程的近似解
1.用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解
想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
一般地,我们把
称为区间(a,b)的中点.
2.二分法概念
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法
思考:
为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)?
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|
区间 |
中点的值 |
中点函数近似值 |
|
(2,3) |
2.5 |
-0.084 |
|
(2.5,3) |
2.75 |
0.512 |
|
(2.5,2.75) |
2.625 |
0.215 |
|
(2.5,2.625) |
2.5625 |
0.066 |
|
(2.5,2.5625) |
2.53125 |
-0.009 |
|
(2.53125,2.2625) |
2.546875 |
0.029 |
|
(2.53125,2.546875) |
2.5390625 |
0.010 |
|
(2.53125,2.5390625) |
2.53515625 |
0.001 |
3、用二分法求方程的近似解的步骤
①、确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε
②、求区间(a,b)的中点x1
③、计算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
④、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b);否则得复2-4