3．[必做题](本题满分10分)

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，为的中点．

　 (Ⅰ)求证：；

　 (Ⅱ)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值；

　 (Ⅲ)在上是否存在一点，使平面？如果存在，求出的长；若不存在，说明理由．(选自福州三中第三次月考理)

提示：如图，以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，．　　　　　　　 ……2分 (Ⅰ)，， 所以，即．　　　　　 ……2分 (Ⅱ)平面的法向量为． 设平面的法向量为，． 由得所以 取，得． 所以，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为．　　 　　　　 ……6分 (Ⅲ)假设在存在一点， 设， 因为，故， 所以，所以． 因为平面，所以与平面的法向量共线， 所以 ，解得，　　　　　　　 所以，即，所以．　　　　 ……10分

点评：该题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量的共线与垂直、直线的方向向量与平面的法向量；是中档题。

2．[必做题](本题满分10分)

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

(I)有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值．(北京市宣武区理改编)

提示：(I)记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，所以， ，由题意：所以，

　 至少7张“海宝”卡………………………………………………4分

(Ⅱ)-的分布列为；

	0	1	2	3	4

　，．…………………………………………10分

点评：该题考查乘法原理、排列组合、二项式定理、n次独立重复试验的模型及二项分布，是中档题。

1.已知,若对任意实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围. (选自福建上杭一中12月月考理)

提示:

　 …………………………………………5分

又对任意实数a,b,c恒成立,

解得　　　　 ………………………………………10分

点评：该题考查柯西不等式、绝对值不等式求解；是容易题。

22．(本小题满分12分)

　　　 已知函数f (x)＝ln(1+x)+a (x+1)² (a为常数)．

　 (Ⅰ)若函数f (x)在x＝1处有极值，判断该极值是极大值还是极小值；

　 (Ⅱ)对满足条件a≤的任意一个a，方程f (x)＝0在区间(0，3)内实数根的个数是多少？

21．(本小题满分12分)

　　　 已知函数f (x)＝alnx+x² (a为实常数)．

　 (Ⅰ)若a＝－2，求证：函数f (x)在(1，+∞)上是增函数；

　 (Ⅱ)求函数f (x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

　 (Ⅲ)若当x∈[1，e]时，f (x)≤(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．

20．(本小题满分12分)

　　　 在一次体操选拔赛中，教练组设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有A和B两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．

假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：

　　　 表1：甲系列　　　　　　 表2：乙系列

　　　 现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分．

　 (Ⅰ)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；

　 (Ⅱ)若该运动员选择乙系列，求其成绩的分布列及其数学期望．

19．(本小题满分12分)

　　　 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，求：扇形的．圆心角多大时，容器的容积最大？并求出此时容器的最大容积．

18．(本小题满分12分)

　　　 现有三人被派去各自独立地解答一道数学问题，已知三人各自解答出的问题概率分别为，，，且他们是否解答出问题互不影响．

　 (Ⅰ)求恰有二人解答出问题的概率；

　 (Ⅱ)求“问题被解答”与“问题未被解答”的概率．

17．(本小题满分10分)

　　　 已知函数f (x)＝(x²－1)³+1，求f (x)的极值．

16．已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是 　　　　　　　．