2009年高考题

20.(2007山西实验中学模拟)正项数列

　 (1)求；

　 (2)试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式

成立；

　 (3)求证：

解：(1)

………………………………4分

(2)由

　 (3)将展开，

…………14

19.(2007江苏省南京市) 14．已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n－1＝ta+2 (n≥2，t>0)，a₁＝1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．

(Ⅰ)求通项a_n；

(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1

解：∵a₁＝1　　 由S₂+S₁＝ta+2，得a₂ ＝ta，∴a₂ ＝0(舍)或a₂＝，

S_n+S_n－1＝ta+2　　　　 　　①　　　　　　　　 S_n－1+S_n－2＝ta+2 (n≥3)　 ②

①－②得a_n+a_n－1＝t(a －a)(n≥3)，(a_n+a_n－1)[1－t(a_n－a_n－1)] ＝0，

由数列{ a_n }为正项数列，∴a_n+a_n－1≠0，故a_n－a_n－1＝(n≥3)，

即数列{ a_n }从第二项开始是公差为的等差数列．

∴a_n＝

(2)∵T₁＝1＜2，当n≥2时，T_n＝t++++ …+＝t+ t²(1－) ＝t+ t²

　要使T_n<2,对所有的n∈N^*恒成立，只要T_n＝t+ t² ＜ t+ t²≤2成立，∴0＜t≤1．

18.(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1

3　 5

7　　 9　　 11

－　 －　 －　 －

－　 －　 －　 －　 －

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。

(Ⅰ)若，求的值；

(Ⅱ)已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。

解：(Ⅰ)∵三角形数表中前行共有个数，

∴第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。

因此，使得的是不等式的最小正整数解。

由得，∴。∴。

第45行第一个数是，∴

(Ⅱ)∵，∴。

∵第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第行各数成公差为的等差数列，故。∴。

故。用错位相减法可求得

17.(北省三校联合体高2008届2月测试)已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设。

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：。

解 ⑴由题意得……………3分

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………………6分

则()]

⑵由及得

，……………………………………………………………8分

则……………………10分

　　　 ………………12分

16.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前n项和为，点在曲线上且.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的前n项和为且满足，设定的值使得数

是等差数列；

　 (3)求证：.

解：(1)

∴

∴

∴数列是等差数列，首项公差d=4

∴

∴

∵

∴…………(4分)

(2)由

得

∴

∴

∴

若为等差数列，则

∴

(3)

∴

∴

……………………12分

15.(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作，如第2行第4列的数是15，记作a₂₄＝15，则有序数对(a₂₈,a₈₄)是　　　　　 。

　　 1　　 4　　 5　　 16　　 17　　 36　　 ……

　　 2　　 3　　 6　　 15　　 18　　 35　　 ……

　　 9　　 8　　 7　　 14　　 19　　 34　　 ……

　　 10　 11　 12　 13　　 20　　 33　　 ……

　　 25　 24　 23　 22　 　21　　 32　　 ……

　　 26　 27　 28　 29　　 30　　 31　　 ……

　　 ……　　 ……　　 ……　　 ……　　 ……

答案：(63，53)

14.(河南省上蔡一中2008届高三月考)如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是　　 　

答案：(-31，7)

13.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为　 　　　　颗；第件工艺品所用的宝石数为　 　　　　颗 (结果用表示).

答案：66，

12.(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n－2个图形中共有　　　个顶点。

答案：n²+n