2009年高考题

8.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数

(1)求反函数

(2)判断是奇函数还是偶函数并证明。

解　 (1)令则

∵t²-2yt-1=0

∴t=y+

∵10^x=y+w.w.

∴f^-1(x)=lg(x+)(xR)

(2)

　　==-lg(x+)=-f^-1(x)

为奇函数

7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

(1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范围。

解 (1)令a=b=0，则f(0)=[f(0)]²∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

(2)令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

　∴

　∴f(x₂)>f(x₁) ∴f(x)在R上是增函数

(4)f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上递增

∴由f(3x-x²)>f(0)得：3x-x²>0 ∴ 0<x<3

6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数

　(1)判断函数的奇偶性。　　 (2)判断函数的单调性。

解 (1)

　 =

　 ∴为奇函数

(2)是R上的增函数，(证明略)

5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则

满足＝27的x的值是 　　　.

答案　

4.(2008年高考数学各校月考试题)已知函数的图象与函数g(x)的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题:

①的图象关于原点对称；　　　　　 ②为偶函数；

③的最小值为0；　　　　　　　　　 ④在(0，1)上为减函数.

其中正确命题的序号为　　　　　 (注：将所有正确命题的序号都填上)

答案　 ②③

3.(2007届高三数学二轮复习新型题专题训练)一次研究性课堂上，老师给出函数

(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

　 甲：函数f(x)的值域为(－1，1)；乙：若x₁≠x₂，则一定有f(x₁)≠f(x₂)；

丙：若规定，对任意N^*恒成立.　　

你认为上述三个命题中正确的个数有　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　　)　　

A．0个　　　　　　 B．1个　　　　　 C．2个　　　　　 D．3个

答案　 D

2.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练)已知a>1，则函数f(x)= log_a x的图象与其反函数y=f^-1(x)的图象　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.不可能有公共点　　　　 　　　　　　 B.不可能只有一个公共点

C. 最多只有一个公共点　 　 　　　　　　 D.最多只有两个公共点

答案　 D

1.(2008年高考数学各校月考试题)若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)=a^x与g(x)=b^x的图象　　 　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．关于直线y=x对称　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．关于x轴对称

C．关于y轴对称　　　　　　　　　　 D．关于原点对称

答案　 C

　 解析　 取满足可得答案C.

2.(2009临沂一模)设函数f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

(I)　　　　　　　　　 当a=0时，f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围;

(II)　　　　　　　　 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;

(III)　　　　　　　 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

解：(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得

当时;;当时，

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故.

(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

(3)存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为(0,+∞)。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-(舍去)

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。

2007-2008年联考题