57.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 　　　　　　

(I)求，的值；

(II)上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解 (I)设，直线，由坐标原点到的距离为

　则，解得 .又.

(II)由(I)知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。 　　　　　　　

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

,=,即.

当;

当.

56.(2009四川卷文)(本小题满分12分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

解(I)由已知得，解得 　　　　　　　　　　　

∴

∴ 所求椭圆的方程为 . 　　　

(II)由(I)得、

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得

设、，　 　　　　　　

∴ ，这与已知相矛盾。

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设、，

联立，消元得

∴　 ，

∴　 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化简得

解得

∴　

∴　 所求直线的方程为 .　

54.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。 　　　　　　

(Ⅰ)当时，求证：⊥；

(Ⅱ)记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解 　依题意，可设直线MN的方程为，

则有

由_，消去x可得 　　　　　　　　　　

从而有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

于是　　　　　　　 　　　　　　　②

又由，可得　　　　 　③

(Ⅰ)如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线

此时 ①可得

证法1：

证法2：

(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立 　　　　　　　　　

证法2：如图2，连接,则由可得

,所以直线经过原点O，

同理可证直线也经过原点O

又设则

53.(2009天津卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

(Ⅰ求椭圆的离心率；

(Ⅱ)直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。

解 (1)由，得,从而

，整理得，故离心率

(2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即

由已知设则它们的坐标满足方程组 　　　

消去y整理，得

依题意，

而，有题设知，点B为线段AE的中点，

所以

联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得_.

(3)由(2)知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组

由，解得，故

当时，同理可得_.

52.(2009江西卷理)(本小题满分12分)

已知点为双曲线(为正常数)上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.　　 　　　　

(1)　　 求线段的中点的轨迹的方程;

(2)　　 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.

　(1) 解　 由已知得,则直线的方程为:,

　 令得,即,

设,则,即代入得:,

即的轨迹的方程为. 　　　　　　

(2) 证明 　在中令得,则不妨设,

于是直线的方程为:,

直线的方程为:,

则,

则以为直径的圆的方程为: ,

令得:,而在上,则,

于是,即以为直径的圆过两定点.

51.(2009江西卷文)(本小题满分14分)

如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.　　　　　　

(1)求圆的半径;

(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，

(1)解 设，过圆心作于,交长轴于

由得,

即　 　　　　　　　(1)　　　　　　

而点在椭圆上,　　　 (2)

由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)

(2) 证明设过点与圆相切的直线方程为:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)

则,即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)

解得

将(3)代入得,则异于零的解为

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:　

即

则圆心到直线的距离　　　　　　 　　

故结论成立.

50.(2009安徽卷理)(本小题满分13分) 　　

点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； 　　　　

(II)证明:构成等比数列.

解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

证明 (I)(方法一)由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. 　　　　　

(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

(方法三)在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。 　　

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

(II)的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

49.(2009广东卷理)(本小题满分14分)

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； 　　　　　　

(2)若曲线与有公共点，试求的最小值．

解(1)联立与得，则中点，

设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，

且不与点和点重合，则，即，

∴中点的轨迹方程为().

(2)曲线，

即圆：，其圆心坐标为，半径

由图可知，当时，曲线与点有公共点；

当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.

48.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)

已知椭圆C:　　　　　　　　　　 的离心率为　　　 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有　 　　　　　　成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解(Ⅰ)设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为

　， 故　 ， 　　　

　　　 由 ，得 ，=

(Ⅱ)C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由 (Ⅰ)知C的方程为+=6. 设

(ⅰ)

　C 成立的充要条件是，

且

整理得

故　 　　　　　　①

将

于是 , =,

代入①解得，，此时

于是=， 即　　 　

　 因此， 当时，， ；

　当时，， 。

(ⅱ)当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，

此时的方程为.

47. (2009山东卷文)(本小题满分14分)

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 　　　

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解(1)因为,,,

所以,　　 即. 　　　

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

则△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点, 　　　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.