21．本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想，满分12分。

解：(I)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

设，因为A(0，b)，

∴直线AB的方程为，

∴点F₂到直线AB的距离　　　 …………4分

又

∴椭圆E的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)解法一：设过点D(1，0)作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于P₁、Q₁、P₂、Q₂、M、N分别为P₁Q₁，P₂Q₂的中点，

　　 当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点D及原点O，直线MN为x轴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　 　　 所以定点必在x轴上，

当直线的斜率存在且不为零时，

设

由

　　　　 …………9分

同理

取y=0，得为定值。

与x轴交于定点，定点坐标　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

解法二：设过定点D(1，0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于P₁、O₁、P₂、Q₂、M、N分别为P₁Q₁、P₂Q₂的中点，

当直线的斜率存在且不为零时，设

由

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

整理得

∴直线MN过定点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………11分

当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，

也过此定点，

∴直线MN过定点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

又

∴椭圆E的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)解法一：设过点D(1，0)作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于P₁、Q₁、P₂、Q₂、M、N分别为P₁Q₁，P₂Q₂的中点，

　　 当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点D及原点O，直线MN为x轴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　 　　 所以定点必在x轴上，

当直线的斜率存在且不为零时，

设

由

　　　　 …………9分

同理

取y=0，得为定值。

与x轴交于定点，定点坐标　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

解法二：设过定点D(1，0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于P₁、O₁、P₂、Q₂、M、N分别为P₁Q₁、P₂Q₂的中点，

当直线的斜率存在且不为零时，设

由

20．已知椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为上顶点，AF₁交椭圆E于另一点B，且的周长为8，点F₂到直线AB的距离为2。

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)求过D(1，0)作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标。

19．已知函数f (x ) = lnx－ax.

(I)求f (x )的单调区间；

(II)若方程f (x ) = 0在[1，e²]上有解，求a的取值范围。

.解：

(Ⅰ)定义域为

　　 --------------------------2分

　　 当时，恒成立， 的单调递增区间为--------4分

　 当时，令

　　　　　　　 令

　 故的单调递增区间为，单调递减区间为------6分

(Ⅱ)在上有解，

　 故在上有解

　 令

　 --------------------------8分

　 令得

　 ---------------------------12分

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA = PD =AD．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．

(1)证明：连结，则是的中点，为的中点，故在△中， ，　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

且平面，平面，∴∥平面　　 …………6分

(2)证明：因为平面⊥平面， 平面∩平面=，

又，所以，⊥平面，∴ 又，所以△是等腰直角三角形，k.s.5.u

且，　　 即　　　 ……………9分

又， ∴⊥平面，　　　　　　　　　　　

又平面，所以平面平面　　　 …………………12分

19．本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算能力等。满分12分

解：(I)(法一)的等差数列

…………2分

又由已知　　　　　　 …………4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

(法二)由已知

　　　　　　　　　　 …………2分

又此等差数列的公差为2，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

(法三)由已知，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

由已知　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)由(I)知　　　　　 …………8分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

又

成立的最小正整数n的值为5　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

17．已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n = pn² + 2n(n∈N*).

(I)求p的值及a_n；

(II)若b_n =，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞成立的最小正整数n的值.

18．本题主要考查在实际背景下，将统计与概率相结合，考查了样本的平均数与方差的计算，以及求随机事件的概率，考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：(I)依题中的数据可得：

∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大。

　 (II)设事件A表示：该车间“质量合格”，

则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：

(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)

(5，5)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)

(7，5)，(7，6)，(7，7)，(7，8)，(7，9)

(9，5)，(9，6)，(9，7)，(9，8)，(9，9)

(10，5)，(10，6)，(10，7)，(10，8)，(10，9)共25种　　

事件A包含的基本事件为：

(4，9)

(5，8)，(5，9)

(7，6)，(7，7)，(7，8)，(7，9)

(9，5)，(9，6)，(9，7)，(9，8)，(9，9)

(10，5)，(10，6)，(10，7)，(10，8)，(10，9)共17种　　

答：即该车间“质量合格”的概率为

16．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：

技工 　 个数 组别	1号	2号	3号	4号	5号
甲组	4	5	7	9	10
乙组	5	6	7	8	9

　 (I)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；

　(II)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率。

15．如图，已知A (3，4)，点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB| = 3，记∠AOx =.

(I)求sin2；

(II)若|AB| = 7，求sin∠Box的值.

(Ⅰ)

　　　 则

(Ⅱ)

14．下列说法正确的是　　　　　 . ①②④

① “x = 1”是“| x | = 1”的充分不必要条件；

② 若命题p：b∈R，使f (x ) = x² + bx + 1是偶函数，则p：b∈R，f (x ) = x² + bx + 1都不是偶函数；

③ 命题“若x＞a² + b²，则x＞2ab”的逆命题为真命题；

④ 因为指数函数y = a^x(a＞0且a≠1)是增函数(大前提)，而y = ()^x是指数函数(小前提)，所以y = ()^x是增函数(结论)，此推理的结论错误的原因是大前提错误.