2．∵二次函数　

　　　　　 在 上递增，在上递减

　　　　 ∴适当地涨价，即 x > 0 , 即

　　　　　 就是 0 < m <1 ,　 能使销售总金额增加。

2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。

　解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

　　　　 由题设：当价格上涨x%时，销售总额为

　　　　　　　　 即 　

　　　　 取得：

　　　　 当 x = 50时，

　　　　 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

　　 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为

　　 正常数。

1．当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。

　 解：设二次函数为： 　

　　　 由已知得： 　

　　　 ∴

　　　 当 x = 4时，

　　　 又对于函数　 　

　　　 由已知得：　　　 ∴　

　 　　当 x = 4时，

　　　 由四月份的实际产量为1.37万件,

　　　 ∴选用函数 作模拟函数较好。

8．设{a_n}的公比为q，{b_n}的公差为d，据题意，得

	a1+0＝1，	①		a1q2+2d＝2a，	③
a1q+d＝a，	②	a1q3+3d＝2．	④

　由①、②、③、④，解得a₁＝1，q＝2，d＝－2， 　∴　a_n＝2^n－1，b_n＝－2(n－1)，c_n＝2^n－1－2(n－1)． 　∴　T_n＝(1－0)+(2－2)+(2²－4)+…+［2^n－1－2(n－1)］ 　　＝(1+2+2²+…+2^n－1)－［2+4+…+2(n－1)］＝2ⁿ－1－n(n－1)． 　9．(1)n≥1时，S²_n+1＝a_n+1(S_n+1+k)． 　∵　a_n+1＝S_n+1－S_n，消去a_n+1，得 　S²_n+1＝(S_n+1－S_n)(S_n+1+k)， 　∴　S_nS_n+1＝(S_n+1－S_n)k， 　∴　(1／S_n)－(1／S_n+1)＝(1／k)． 　(2)由(1)得(1／S_n+1?)－(1／S_n)＝－(1／k)，∴　{(1／S_n)}是以－(2／k)为首项，－(1／k)为公差的等差数列， 　∴　(1／S_n)＝－(2／k)+(n－1)(－(1／k))＝－(n+1／k)， 　∴　S_n＝－(k／n+1)． 　(3)设c_n＝(n／(pn+q)S_n)＝－(n²+n)／［k(pn+q)］． 　∵　c_n成等差数列，∴　c_n＝c₁+(n－1)d， 　∴　－n²－n＝k(pn+q)(nd+c₁－d)＝kdpn²+［kdq+kp(c₁－d)］n+kq(c₁－d)，

∴	kdp＝－1，	得p＝q，
kdq+kp(c1－d)＝－1，
kq(c1－d)＝0

　∴　(p／q)＝1． 　∴　(p／q)是与k无关的常数1． 　10．(1)∵a?3-a₁=2d,f(x)=(x-1)²， 　∴f(d+1)-f(d-1)=2d, 　即d²－(d-2)²＝2d. 　解得d=2．从而a₁=f(1)=0, 　∴a_n=2n-2.? 　由(b₃／b₁)=q²，得(q-2)²／q²=q².解得　 　q=-2.从而b₁=f(-1)=4, 　∴b_n=4·(-2)_n+1. 　(2)令x_n=(c_n／b_n),则x₁=a₂=2,当n≥2时，x_n=a_n+1-a_n=2,∴x_n=2(n∈N),从而c_n=2b_n.∴S_n=2(b₁+b₂+…+b_n) 　=(8／3)［1-(-2)ⁿ］.

故?.

　?§?2　数列的综合应用 　1．B；2．C；3．A；4．D；5．－1或1；6．1； 　7．24． 　8．(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝(π／4)；? 　当n≥2时， 　a_n＝S_n－S_n－1＝…＝(π／12)(4n－1)． 　∴　a_n＝(π／12)(4n－1)(n∈N)． 　从而a_n+1－a_n＝…＝(π／3)，? 　∴　{a_n}是首项为(π／4)，公差为(π／3)的等差数列． 　(2)因为a_n＝(π／12)(4n－1)，且4n－1是奇数，所以a_n≠kπ(k∈Z)，从而sina_n≠0，即b_n≠0(n∈N)． 　∵　(b_n+1／b_n)＝(sina_n+3)／sina_n＝sin(a_n+3×(π／3))／(sina_n)＝－1， 　又b₁＝sina₁·sina₂·sina₃＝sin(π／4)sin(7π／12)·sin(11π／12) 　＝(／2)·(1／2)(cos(π／3)－cos(3π／2))＝(／8)，? 　∴　{a_n}是首项为(／8)，公比为－1的等比数列，从而对任何n∈N，都有b_n＝(／8)(－1)^n－1． 　9．(1)由韦达定理，得p+q=,pq=t²，又由p,p-q,q成等比数列，有(p-q)²=pq,∴(p+q)²=5pq=5t²，t²＝2.∵t＞0，?∴t= 　(2)用拆项相消法，得S_n=1-1／(n+1),故只要证明log2≤1-(1／n+1)＜log2，即要证(1／2)≤1-1／(n+1)＜2，右侧不等式显然成立，左侧不等式即为1／(n+1)≤(1／2),显然成立． 　10?(1)设小李这笔贷款额应为y元，由题意，得　(y+13334)×40%＝13334， 　∴　y＝(13334／40%)－13334≈2．00×10⁴(元)． 　答：小李应向银行贷款2．00×10⁴(元)． 　(2)设小李每年应还x元，由已知10年还清． 　一年后贷款余额为20000(1+10%)－x， 　二年后贷款余额为［20000(1+10%)－x］(1+10%)－x 　＝20000(1+10%)²－x(1+10%)－x 　…… 　10年后的贷款余额为 　20000(1+10%)¹⁰－x(1+10%)⁹－…－x(1+10%)－x， 　据题意，得 　20000(1+10%)¹⁰－x［1+(1+10%)+(1+10%)²+…+(1+10%)⁹］＝0． 　解得　x＝(20000×0．1×1．1¹⁰／1．1¹⁰－1)， 　∵　1．1¹⁰＝(1+0．1)¹⁰＝1+10×0．1+C²₁₀×0．01+C³₁₀×0．001+C⁴₁₀×0.0001+…＝1+1+0.45+0.021+0.00252+…≈2.5937， 　∴　x≈3255(元)． 　答：小李每年应还3255元． 　　 　?§?3　数学归纳法 　1．略； 　2．Ⅱ₁=(3／4),Ⅱ₂=(2／3),Ⅱ₃=(5／8),为统一形式，将Ⅱ₂表示为(4／6)，由此推测：Ⅱ_n=(n+2／2n+2).再用数学归纳法证明． 　3．略． 　4．∵　(n²－1)／(n²+1)＝1－2／(n²+1)， 　f()＝(2^(n／2)－2^－(n／2))／(2^(n／2+2^－(n／2))＝(2ⁿ－1)／(2ⁿ+1)＝1－2／(2ⁿ+1)， 　∴　只需比较2ⁿ与n²的大小． 　可用“归纳-猜想-证明”的方法来解决，也可以利用二项式定理． 　下略． 　当n＝1或n≥5时，f()＞(n²－1)／(n²+1)；?当n＝2，4时，f()＝(n²－1)／(n²+1)；当n＝3时，f()＜(n²－1)／(n²+1)． 　5．(1)当n＝1时，有a₁+S₁＝3，即a₁＝(3／2)；? 　当n≥2时，S_n+a_n＝2n+1，　　　① 　则　?S_n+1+a_n+1＝2n+3．　　　② 　②－①，得(S_n+1－S_n)+a_n+1－a_n＝2， 　∴　a_n+1＝(1／2)a_n+1． 　由此得a₂＝(7／4)，a₃＝(15／8)． 　(2)猜想：a_n＝(2·2ⁿ－1)／2ⁿ＝2－(1／2ⁿ)　(n∈N)，证明略． 　6．(1)设{a_n}的公差为d，则

	a1+d＝8，	解得a1＝5，d＝3．
10a1+(10×9)／2d＝185，

　∴　a_n＝a₁+(n－1)d＝3n+2． 　(2)S_n＝a₂+a₄+a₈+…+a₂ⁿ＝(3×2+2)+(3×4+2)+…+(3×2ⁿ+2) 　　＝3×(2－2ⁿ⁺¹)／(1－2)+2n＝3×2ⁿ⁺¹+2n－6． 　∴　(S_n－2n)／3ⁿ＝(3×2ⁿ⁺¹－6)／3ⁿ＝6×(2／3)ⁿ－6×(1／3)ⁿ，

∴　?．

　(3)∵　T_n＝n(a_n+9)＝3n²+11n， 　∴　S_n－T_n＝3(2ⁿ⁺¹－n²－3n－2)． 　欲证n≥4时，S_n＞T_n，只需证当n≥4时，2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2． 　证法1．数学归纳法(此处略)． 　证法2．利用二项式定理． 　当n≥4时，2_n+1＝(1+1)_n+1? 　＝C⁰_n+1+C¹_n+1+C²_n+1+…+C^n－1_n+1+Cⁿ⁺¹_n+1 　≥2(C⁰_n+1+C¹_n+1+C²_n+1)＝n²+3n+4＞n²+3n+2， 　即当n≥4时，2_n+1＞n²+3n+2， 　∴　当n≥4时，S_n＞T_n．　　 　7．∵　f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36， 　　　?f(3)? 　＝360＝10×36，… 　∴　猜想：f(n)能被36整除． 　可用数学归纳法证明，略． 　因为当m取大于36的整数时，f(1)＝36不能被m整除，所以m＝36为最大． 　8．存在b_n＝3n+1，取n＝1，2，3，从特殊归纳出一般结论，再用数学归纳法证明(略)． 　　专题能力测试 　一、?1．B；2．C；3．B；4．D；5．C；6．B；7．C；8．D；9．B；10．B；11．D；12．C．? 　二、13．(1／n);14.219.01； 　15．m＞8；16．a_n＝n+1. 　三、17．首先应确定三数的大小关系，而且由“公差为1”知这三数是单调递增的．记x=10a²+81a+207,y=a+2,z=26-2a.由对数的定义域知x＞0,y＞0,z＞0,故有-2＜a＜13.? 　作差比较知x最大，而y-z=3(a-8)，因a=8时y=z，不符题意，故分-2＜a＜8和8＜a＜13两种情况讨论： 　(1)-2＜a＜8时，y＜z，这时由lgz-lgy=lgx-lgz=1，得x=10z,z=10y,即10a²+81a+207=10(26-2a),26-2a=10(a+2)，解得a=(1／2). 　(2)当8＜a＜13时，z＜y，这时由lgy-lgz=lgx-lgy=1，得x=10y,y=10z,即10a²+81a+207=10(a+2),a+2=10(26-2a)，这时无解． 　综合(1)(2)知a=(1／2). 　18．设能构造这样的等比数列，并且其公比为q.则由条件知a₁+a₆＝11,a₁a₆=(32／9),即a₁=(1／3),a₆=(32／3)或a₁＝(32／3),a₆＝(1／3)． 　对a₁＝(1／3),a₆＝(32／3)，q=2,a_n=(1／3)2^n-1,由(2／3)a_m-1+a_m+1+(4／9)=2am²，解得m=2，能使条件成立． 　对a₁＝(32／3),a₆＝(1／3)，同上法，可知其无解． 　故能构造出题设的等比数列，其通项公式为a_n=(1／3)2^n-1. 　19．(1)当q＝1时，S_n＝na，G_n＝na²． 　∵　a≠0，∴　． 　当0＜q＜1时，

　(2)∵　S₁＝a₁＝，而S_n²＝3+(n－1)＝n+2， 　∴　S_n＝　(n∈N)． 　当n≥2时， 　a_n＝S_n－S_n－1＝－． 　当n＝1时，S₁＝，3a₁＝3，∴　S₁＜3a₁.　又当n≥2时，33 　S_n－3na_n＝－3n(－)?　 　＝3n－(3n－1)·．? 　∵　［3n］²－［(3n－1)］² 　＝…＝－3n²+11n－2 　＝－3(n－(11／6))²+(97／12)． 　∴　当n＝2，3时，S_n＞3na_n； 　当n≥4时，?S_n＜3na_n．? 　20．(1)设第n年甲、乙产品年创外汇分别为a_n、b_n(万元)，则 　a_n＝32×2.25^n－1?(万元)， 　b_n＝216×(2／3)^n－1(万元)． 　令a_n＞b_n， 　则32×2.25^n－1＞216×(2／3)^n－1， 　即32×(9／4)^n－1＞216×(2／3)^n－1， 　32×(3／2)^2n－2＞216×(2／3)^n－1， 　(3／2)^3n－5＞3． 　3n＞5+lg3／(lg3－lg2)，n＞2.57，∴　取n＝3． 　答：从第三年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇． 　(2)设该企业第n年所创外汇为y_n，则 　y_n＝a_n+b_n＝32×(3／2)^2n－2+216×(2／3)^n－1? 　＝32×(3／2)^2n－2+108×(2／3)^n－1+108×(2／3)^n－1 　≥3＝216． 　当且仅当108×(2／3)^n－1＝32×(3／2)^2n－2，即n＝2时，y_n取得最小值216． 　所以第二年，即2001年该企业创外汇最少为216万元，该年甲产品创外汇72万元，乙产品创外汇144万元． 　(3)∵　y₄＝a₄+b₄＝428.5＞140×3＝420， 　∴　该企业到2003年能进入国家重点企业．

25、(1)b c　 (2)c (3)80%

24、①一个化学反应其正、逆反应过程的能量变化，在数值上相等，吸收与放出相反。(能量守恒)②一个化学反应的能量变化量与其反应物的物质的量有关(或成正比)③一个化学反应的能量变化量与其反应物、生成物的状态(固、液、气)有关。

23、(1)K>Na>Mg　　 (2)NaOH　　 (3)H₂O，2K+2H₂O=2KOH+H₂↑，>(4)NaBr，黄色(5)略(6)Al(OH)₃，Al(OH)₃+ OH^-= AlO₂^-+2H₂O(中等题)

25．(8分)将1 mol SO₂和含2mol氧气的空气放入一定体积的密闭容器中，550℃时，在催化剂作用下发生反应:2SO₂+O₂　　 2SO₃反应达到平衡后， O₂的物质的量为1.6mol。

请回答下列问题:

(1)判断该反应达到平衡状态的标志是_______。(填字母)

a.SO₂和SO₃浓度相等　　　　　　 b.SO₂百分含量保持不变

c.容器中气体的压强不变　　 　　d.SO₃的生成速率与SO₂的消耗速率相等

e.容器中混合气体的密度保持不变

(2)欲提高SO₂的转化率，下列措施可行的是_______。(填字母)

a.向装置中再充入N₂　 　b.向装置中再充入O₂

(3)求该反应达到平衡时SO₂的转化率(用百分数表示)。

24.(6分)研究表明，在一定温度和压强下，2 molH₂(g)和1 molO₂(g)完全化合生成2 molH₂O(g)所放出的热量：①与在相同条件下2 molH₂O(g)完全分解为2 molH₂(g)和1 molO₂(g)所吸收的热量在数值上相等；②是相同条件下1molH₂(g)和0.5 molO₂(g)完全化合生成1 molH₂O(g)所放出热量的2倍；③比在相同条件下2 molH₂(g)和1 molO₂(g)完全化合生成2 molH₂O(l)所放出的热量少。由此，你得出哪些结论？

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