摘要：20．解:(1)当m＝3时.f(x)＝ x3-3x2+5x.f ′ (x)＝x2-6x+5．--------------1分 因为f(2)＝ .f ′ (2)＝-3.所以切点坐标为(2.). ----------------2分 切线的斜率为-3． -------------------------------3分 则所求的切线方程为y- ＝-3(x-2).即9x+3y-20＝0．--------------4分 (2)解法一:f ′ (x)＝x2-2mx+(m2-4).令f ′ (x)＝0.得x＝m-2或x＝m+2． ------6分 当x∈(-∞.m-2)时.f ′ (x)＞0.f(x)在(-∞.m-2)上是增函数, 当x∈(m-2.m+2)时.f ′ (x)＜0.f(x)在(m-2.m+2)上是减函数, 当x∈(m+2.+∞)时.f ′ (x)＞0.f(x)在(m+2.+∞)上是增函数．--------9分 因为函数f(x)有三个互不相同的零点0.α.β.且f(x)＝x[x2-3mx+3(m2-4)]. 所以解得m∈． 当m∈时.m-2＜m+2＜0.所以α＜m-2＜β＜m+2＜0． 此时f(α)＝0.f(1)＞f(0)＝0.与题意不合.故舍去, 当m∈时.m-2＜0＜m+2.所以α＜m-2＜0＜m+2＜β． 因为对任意的x∈[α.β].都有f(x)≥f(1)恒成立.所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α.β]上的最小值． 因为当x＝m+2时.函数f(x)在[α.β]上取最小值.所以m+2＝1.即m＝-1, 当m∈(2.4)时.0＜m-2＜m+2.所以0<α＜m-2＜m+2＜β． 因为对任意的x∈[α.β].都有f(x)≥f(1)恒成立.所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α.β]上的最小值． 因为当x＝m+2时.函数f(x)在[α.β]上取最小值.所以m+2＝1.即m＝-1 ．--15分 综上可知.m的取值范围是{-1}．------------------------16分 解法二:f ′ (x)＝x2-2mx+(m2-4).令f ′ (x)＝0.得x＝m-2或x＝m+2．--------6分 所以.当x∈(-∞.m-2)时.f ′ (x)＞0.f(x)在(-∞.m-2)上是增函数, 当x∈(m-2.m+2)时.f ′ (x)＜0.f(x)在(m-2.m+2)上是减函数, 当x∈(m+2.+∞)时.f ′ (x)＞0.f(x)在(m+2.+∞)上是增函数．--------9分 当α＜β＜0时.必有α＜m-2＜β＜m+2＜0.则当x∈[α.β]时.f(x)的最小值是f(α)＝0． 此时f(1)＞f(0)＝0＝f(α).与题意不合.故舍去, 当α＜0＜β时.则有α＜m-2＜0＜m+2＜β.此时3(m2-4)＜0.即-2＜m＜2． 因为对任意的x∈[α.β].都有f(x)≥f(1)恒成立.所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α.β]上的最小值． 又函数f(x)在[α.β]上的最小值就是极小值.所以f′(1)＝0.得m＝3或m＝-1, 当0＜α＜β时.则有0＜α＜m-2＜m+2＜β.此时 解得m∈(2.4)． 因为对任意的x∈[α.β].都有f(x)≥f(1)恒成立.所以α＜1＜β． 所以f(1)为函数f(x)在[α.β]上的最小值． 又函数f(x)在[α.β]上的最小值就是极小值.所以f ′(1)＝0.得m＝3或m＝-1． 又因为当m＝3时.f(1)为极大值.与题意不合.故舍去．--------------15分 综上可知.m的取值范围是{-1}．------------------------16分

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