若数列的连续若干项之间满足关系，由这个递推关系及n个初始值确定的数列，叫做递推数列。它主要给出的是“二层”中连续几项之间的递推关系式(如：、　、、、、、、、、等类型)，这是数列的重点、难点问题。求递推数列通项的方法较多，也比较灵活，基本方法如：迭加法、迭乘法、转化为等差、等比数列求通项法、归纳——猜想——证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。

4．给定初始条件和递推关系，有时不一定能求出通项，却也可以研究它的其他性质。(如取值范围，比较大小，其他等价关系等，无非等与不等两类)，这类问题往往有一定的难度。

本文主要采用风趣的“楼层式”讲解，更易于理解数列中求通项的问题。将喻为楼的第一层，喻为楼的第二层，喻为楼的第三层，则数列中之间的关系式可理解为这三层之间的走动关系，那么我们可以用爬楼层的方式理解之间的相互转化关系-----我亲切地称它为“楼层式”的转化方式。

3．给定初始条件和递推关系往往可以用演绎(推导)的方法求出它的通项公式，其最主要的思想方法是生成、转化、叠代。

2．给出递推关系求通项，有时可以用归纳，猜想，证明的思路；而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法；而给出铺垫(转化后的数列)的问题常常可以用证明(变换，待定系数法等)处理，一般难度不大。

例7：已知数的递推关系为，且求通项。

解：∵　　 ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列

∴即　 ∴

例5.　　　　　 在数列中，，，，求。

解析：在两边减去，得

∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得

= =…===

例8： 已知数列{}中且()_，，求数列的通项公式。

解：∵∴ ，　 设，则

故{}是以为首项，1为公差的等差数列 ∴　　 　　　∴

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

趣谈数列的通项问题及其思维方式

1．递推关系的形成：直接给出，函数给出，解析几何给出，应用问题给出，方程给出。

　例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c₁=2，c₂=4，c₃=7，c₄=12，求通项公式c_n

解：设

例6. 已知数列中，，，

其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的a_n的关系式。

解析：递推公式一定可表示为

的形式。由待定系数法知：

　 故数列是首项为，公比为的等比数列，故

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，(b、c为常数)，若数列为等比数列，则，。

例5：已知下列两数列的前n项和s_n的公式，求的通项公式。(1)。 (2)

解： (1)===3

此时，。∴=3为所求数列的通项公式。

(2)，当时

　由于不适合于此等式 。　 ∴

点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例4：在数列{}中， =1,　 (n+1)·=n·，求的表达式。

解：由(n+1)·=n·得，=_··…=　　 　所以

例4. 已知数列中，，前项和与的关系是 　，试求通项公式。

解析：首先由易求的递推公式：

将上面n—1个等式相乘得：

点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解　 易知∵ ……

各式相加得∴

点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 　若在数列中，，，求通项。

解析：由得，所以，，…，，

将以上各式相加得：，又所以 =

例2： 已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)²，且a₁ = f (d－1)，a₃ = f (d+1)，b₁ = f (q+1)，b₃ = f (q－1)，(1)求数列{ a _n }和{ b _n }的通项公式；

解：(1)∵a ₁=f (d－1) = (d－2)²，a ₃ = f (d+1)= d ²，∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d=4，

∴d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d = 2(n－1)；又b₁= f (q+1)= q²，b₃ =f (q－1)=(q－2)²，

∴=q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1

例1.　 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是(　　 )

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析：设等差数列的公差位d，由已知，

解得，又是递减数列，　 ∴ ，，∴ ，故选(D)。

例2.　 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。

解析：由题意，，又是等比数列，公比为

∴，故数列是等比数列，，∴

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。