2.分式的约分

剖析：(1)如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；

(2)如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分.

注：要牢记分子、分母都是乘积形式时，才能进行约分；约分要彻底，即约去公因式后为最简形式.

例题精讲

例1　 (经典回放)写出一个含有字母x的分式：______________.(要求：不论x取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负)

思路解析：这是一道开放性试题，解题的关键是正确理解分式的概念和有意义的条件，首先找出符合条件的字母，由于x本身取任意实数，所以当分母取ax²ⁿ+b(a、b同号且n是正整数)时，ax²ⁿ+b≠0.因此分母可以用x²+1，3x²+2，-2x²-5等来表示，而对于分子，由于分式的值为负，因此也可用ax²ⁿ+b来选取.但要注意分子、分母异号，分式要写成最简形式.

答案：如(答案不唯一)

解题关键：准确理解分式的意义,含有字母x的分式的分母不等于零、满足ax²ⁿ+b≠0(a、b同号且n是正整数).

提高训练　 若分式的值为正数，则x的取值范围是(　　 )

A.x>0　　　　　　 B.x>-4　　　　　 C.x≠0　　 　　　　　D.x>-4且x≠0

思路解析：x²为非负数，故要使分式的值为正数，需分子x+4大于零且 x≠0.

答案：D

例2　 若的值为零，则x的值是(　　 )

A.±1　　　　　　　 B.1　　　　　　 C.-1　　　　　　　 D.不存在

思路解析：解得x=-1.

答案：C

解题关键：分式的值为零，必须同时满足两个条件：一是分子等于零；二是分母不等于零.

黑色陷阱：若只考虑分子等于0，则会错选A.因此当分式的值为零时，求字母的取值不能只考虑分子,还必须考虑分母.

提高训练1　 若分式的值为零，则x的值为____________.

思路解析：分式的值为零，即分子x-1=0且分母x+1≠0.

答案：1

提高训练2　 当m=__________时，分式的值为0.

思路解析：令(m-1)(m-3)=0,得 m=1或m=3.

当m=1时，m²-3m+2=1²-3×1+2=0;

当m=3时，m²-3m+2=3²-3×3+2=2≠0.

所以当m=3时，=0.

答案：3

例3　 小明说：“可以化简为x-3，所以应该是整式.”你认为他的说法正确吗？说明理由.

思路解析：这里的化简即约分，依据是分式的基本性质，在分式中,字母x的取值范围是x≠-3，而在x-3中x的取值范围是任意实数.

答案：不正确，化简后x的取值范围不同，因此x-3不能代替.

解题关键：在分式的约分中，默认的是字母的取值使分母不等于零；而在整式中，字母可取任意实数.

提高训练1　 下列分式的变形是否正确？为什么？

(1)；

(2).

思路解析：分式的基本性质：分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.在以上变形中，没有指明(x-1)和a不为零.

答案：都不正确，因为无法保证(1)中分子、分母同乘以的x-1和(2)中的a不为零.

提高训练2　 下列分式变形是否正确?为什么?

(1);

(2).

思路解析：两个变形也是利用分式的基本性质，原来的两个分式中隐含了x-1≠0和a≠0，故变形正确.

答案：变形正确，因为原分式中隐含了x-1≠0和?a≠0的条件,可以进行约分.

提高训练3　 化简的结果是(　　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　 D.

思路解析：先将原式分解因式化成积的形式,.

答案：B

课外讨论

问题　 “因为=x，而x取任意实数都有意义，所以使分式有意义的条件是x为任意实数”.你认为这种说法对吗？为什么？

　　 从分式在什么时候有意义的方面来考虑.

探究：因为=x应用了分式的基本性质：分子、分母同除以不为0的整式x，分式的值不变，所以，这里要使得两式相等的首要条件是x≠0.也就是说没有x≠0这个条件，相等是无从谈起的.所以这种说法不对，要使有意义，则x≠0.

自我训练

达标训练

1.分式的意义与分式的值

剖析：(1)分式有意义是指分母不等于零,与分子的取值无关.

(2)分式，当A=0且B≠0时，分式的值为零；

当A＞0，B＞0或A＜0，B＜0(即A与B同号)时，分式的值为正；

当A＞0，B＜0或A＜0，B＞0(即A与B异号)时，分式的值为负.

因此在学习过程中要及时回顾方程和不等式的有关知识.

4.分式的通分

　　 指把几个异分母的分式分别化成与原来的分式___________的___________的分式.分式通分的根据是___________.通常取各分母的所有因式的___________作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母.

答案：相等　 同分母　 分式的基本性质　 最高次幂的积

知识导学

　　 学习本节应先回顾小学分数的知识，通过类比、猜想,学习分式的概念和性质.

　　 分式约分和通分的依据是分式的基本性质,通分和约分实质上是一种恒等变形，它对于学习后面的分式运算和分式方程是十分重要的.

　　 分式的符号变化规律要引起注意，其表现形式如下：

(1)；

(2)；

(3).

但要注意下面的错误：=-1是错误的，应该是.

难点突破

3.分式的约分

指把一个分式的__________与__________的__________约去.分式约分的根据是___________.

　　 分式约分的主要步骤是：

(1)把分式的分子与分母___________;(2)约去分子与分母的___________.

答案：分子　 分母　 公因式　 分式的基本性质　 化为积的形式　 公因式

2.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以(或除以)___________，分式的值不变.

答案：.同一个不等于零的整式

1.分式的有关概念

(1)用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成___________的形式；如果B中___________，式子就叫做分式.

(2)若分式有意义，则B___________.

(3)若分式无意义，则B___________.

(4)若分式=0，则A___________，且B___________.

答案：(1)　 含有字母

(2)≠0

(3)=0

(4)=0　 ≠0

16.1　 分　 式

把握要点

6.通过学习，能获得学习数学知识的常用方法，感受数学学习的价值.

知识结构

5.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.

4.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过2个);会检验分式方程的根.