摘要：分式的约分 剖析:(1)如果分式的分子.分母都是单项式.就直接约去分子.分母的公因式.即分子.分母系数的最大公约数.相同字母的最低次幂, (2)如果分子.分母都是多项式.就先分解因式.找出公因式再进行约分. 注:要牢记分子.分母都是乘积形式时.才能进行约分,约分要彻底.即约去公因式后为最简形式. 例题精讲 例1 写出一个含有字母x的分式: .(要求:不论x取任何实数.该分式都有意义.且分式的值为负) 思路解析:这是一道开放性试题.解题的关键是正确理解分式的概念和有意义的条件.首先找出符合条件的字母.由于x本身取任意实数.所以当分母取ax2n+b时.ax2n+b≠0.因此分母可以用x2+1.3x2+2.-2x2-5等来表示.而对于分子.由于分式的值为负.因此也可用ax2n+b来选取.但要注意分子.分母异号.分式要写成最简形式. 答案:如 解题关键:准确理解分式的意义,含有字母x的分式的分母不等于零.满足ax2n+b≠0. 提高训练 若分式的值为正数.则x的取值范围是( ) A.x>0 B.x>-4 C.x≠0 D.x>-4且x≠0 思路解析:x2为非负数.故要使分式的值为正数.需分子x+4大于零且 x≠0. 答案:D 例2 若的值为零.则x的值是( ) A.±1 B.1 C.-1 D.不存在 思路解析:解得x=-1. 答案:C 解题关键:分式的值为零.必须同时满足两个条件:一是分子等于零,二是分母不等于零. 黑色陷阱:若只考虑分子等于0.则会错选A.因此当分式的值为零时.求字母的取值不能只考虑分子,还必须考虑分母. 提高训练1 若分式的值为零.则x的值为 . 思路解析:分式的值为零.即分子x-1=0且分母x+1≠0. 答案:1 提高训练2 当m= 时.分式的值为0. 思路解析:令=0,得 m=1或m=3. 当m=1时.m2-3m+2=12-3×1+2=0; 当m=3时.m2-3m+2=32-3×3+2=2≠0. 所以当m=3时.=0. 答案:3 例3 小明说:“可以化简为x-3.所以应该是整式. 你认为他的说法正确吗?说明理由. 思路解析:这里的化简即约分.依据是分式的基本性质.在分式中,字母x的取值范围是x≠-3.而在x-3中x的取值范围是任意实数. 答案:不正确.化简后x的取值范围不同.因此x-3不能代替. 解题关键:在分式的约分中.默认的是字母的取值使分母不等于零,而在整式中.字母可取任意实数. 提高训练1 下列分式的变形是否正确?为什么? (1), (2). 思路解析:分式的基本性质:分子.分母都乘以同一个不等于零的整式.分式的值不变.在以上变形中.没有指明(x-1)和a不为零. 答案:都不正确.因为无法保证(1)中分子.分母同乘以的x-1和(2)中的a不为零. 提高训练2 下列分式变形是否正确?为什么? (1); (2). 思路解析:两个变形也是利用分式的基本性质.原来的两个分式中隐含了x-1≠0和a≠0.故变形正确. 答案:变形正确.因为原分式中隐含了x-1≠0和?a≠0的条件,可以进行约分. 提高训练3 化简的结果是( ) A. B. C. D. 思路解析:先将原式分解因式化成积的形式,. 答案:B 课外讨论 问题 “因为=x.而x取任意实数都有意义.所以使分式有意义的条件是x为任意实数 .你认为这种说法对吗?为什么? 从分式在什么时候有意义的方面来考虑. 探究:因为=x应用了分式的基本性质:分子.分母同除以不为0的整式x.分式的值不变.所以.这里要使得两式相等的首要条件是x≠0.也就是说没有x≠0这个条件.相等是无从谈起的.所以这种说法不对.要使有意义.则x≠0. 自我训练 达标训练

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