2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为

⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC+∠B＝90°，所以∠CAE+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．

[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．

[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，

∴由勾股定理得AB＝15．

∵⊙O切AC于点E，连接OE，

∴OE⊥AC．

∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．

∴，即．

∴．∴OE＝

∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．

2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？

分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．

1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．

2．直线和圆的位置关系

[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．

[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？

[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．

当d＜r时，直线和圆相交；

当d＝r时，直线和圆相切；

当d＞r时，直线和圆相离．

[师]很好，下面我们做一个练习．

(投影片C)

如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？

分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．

[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，

∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．

又因为⊙A的半径为4，

∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．

∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．

由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．

[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．

[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．

切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

[师]下面我们看它们的应用．

(投影片D)

2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．

2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？

分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．

[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，

∵OD＝3，PD＝4，

∴OP＝＝5＝r．

所以点P在圆上．

同理可知OR＝＜5，OQ＝＞5．

所以点R在圆内，点Q在圆外．

1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？

[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．

1．点和圆的位置关系

[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．

[师]总结得不错，下面看具体的例子．

(投影片B)

[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．

[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．

经过两点也可以作无数个圆．

设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．

经过在同一直线上的三点不能作圆．

经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．

[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？

[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．

例题讲解(投影片A)

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？

[师]请大家互相交流．

[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．

∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

21.(12分)已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

(1)如图11，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之;

(2)如图12，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流.