3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy，　 ①

　因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

　，即．

　 代入①，得，

　 即．

　　 因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。

二、1、2 2、 3、甲、乙 4、 5、6、 7、7 8、20

三1、有已知可得均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。

2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案②，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案③，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案②。

6、（14分）已知关于x的方程有两个正整数根（m　是整数）。

△ABC的三边a、b、c满足，，。

求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

师大附中2011年高一自主招生考试

数学试题参考答案

5、（12分）如右图，直线OB是一次函数的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB

上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

4、（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于,, 点分别是的中点。

求证：△是等边三角形。

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

	甲	乙
价格（万元／台）	7	5
每台日产量（个）	100	60

⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

三、解答题

1、（10分）在中，，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：的值。

8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多

　　　　　　 道。

7、已知为方程的两实根，

则　　　　　　 。