2.(2010湖南文)7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则

A.a＞b　　　　　　 B.a＜b

C. a＝b　　　　　　 D.a与b的大小关系不能确定

[命题意图]本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

1.(2010上海文)18.若△的三个内角满足，则△

(A)一定是锐角三角形.　　　　 (B)一定是直角三角形.

(C)一定是钝角三角形.　　　　　 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

[答案]C

解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13

　　　 由余弦定理得，所以角C为钝角

2010年高考题

10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱

ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4

且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，

E是O₁A的中点.

(1)求二面角O₁－BC－D的大小；

(2)求点E到平面O₁BC的距离.

解 　(1)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，

O₁(0，0，3)

设平面O₁BC的法向量为=(x，y，z)，

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=(－，3，2)，而平面AC的法向量=(0，0，3)

∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D为60°.

(2)设点E到平面O₁BC的距离为d，

　∵E是O₁A的中点，∴=(－，0，)，

则d=，∴点E到面O₁BC的距离等于.

9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，，平面平面.　　

(Ⅰ)求证：；　　　　　　　　　　

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求异面直线和所成角的大小.

作于点，

　平面平面，

平面.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 .　

.　

.

，

.

(Ⅰ)证明　

　 .　

又.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)解　 作于点，连结.

平面， 根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　

在中， ，

　 从而，

，　　　　　　　　　　　　　　

即二面角的大小是.　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)解，

，

　 异面直线和所成角的大小为arccos.

8. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，

在正四棱锥中，,点在

棱上．

(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；

(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小.

解　 (Ⅰ)当E为PC中点时，．

连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，

∴O为AC的中点，又E为中点，

∴OE为△ACP的中位线，

∴，又，

∴.

(Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.

则, , ，，．

∴ ， ，

，，

设面的法向量为

　 ,　

点到平面的距离为.　

　(Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, .

.　

7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P-ABCD中，

平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

△PAB等边三角形.

(1)求二面角B-AC-P的大小；

(2)求点A到平面PCD的距离.

解　 (1)建立如图的空间直角坐标系O-xyz，

则A(－1，0，0)，B(1，0，0)，

则P(0，0，)，C(1，2，0)

设为平面PAC的一个法向量，

则

又

令z=1，得

　　 得

又是平面ABC的一个法向量，

　 设二面角B-AC-P的大小为，

则

(2)设为平面PCD的一个法向量.

则 由D(－1，2，0)，可知)，可得a=0，令，则c=2.

得，

设点A到平面PCD的距离为d，则

∴点A到平面PCD的距离为

6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，

、分别是正四棱柱上、下底面的中

心，是的中点，.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)当时，求直线与平面所成角的大小；　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?　　　　　　　　　　　　　　　　

以点为原点，直线所在直线分别为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则得、、、、

(Ⅰ)证明 　由上得、、

，设得

解得， ∴

，　 ∴∥平面　　　　　　

设平面的法向量为，则由，得， ，∴直线与平面所成角的大小为.

(Ⅲ) 解 　由(Ⅰ)知的重心为，则，

若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得

∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.

5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°.

( 1 )求二面角A-BD-C的大小；

(2)求点C到平面ABD的距离.

解　 (1)如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．

取　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又平面的一个法向量　　　　　　　　　　　　　

．　

结合图形可知，二面角的大小为．　　　

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

点到平面的距离＝．

4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.

(1)　　　 求异面直线AF与BG所成的角的大小；

(2)　　　 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.

解 　由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz 由平面几何知识知：AD＝4,　 D (0, 4, 0),　 B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ),　 P (0, 0, 2),　 E (0, 0, 1),　 F (1 ,0, 1),　 G (1 ,1 ,1) (1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1) ∴·＝0， ∴AF与BG所成角为 　.　 　　　　 (2) 可证明AD⊥平面APB， ∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0) 设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z) 由　 Þ　 故m＝(1,1,2) ∵cos<m,n>＝ ∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.