6、(2009昆明市期末)如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D为B₁C₁的中点。

　 (Ⅰ)证明：B₁C⊥面A₁BD；

　 (Ⅱ)求二面角B-AC-B₁的大小。

方法一：

　 (Ⅰ)证明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，

　　 由 得

　　　　 △BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。

　　 又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°

　　 故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°

　　 故 B₁C⊥BD.·····················3分

　　 又 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D为B₁C₁的中点。

　　 由 A₁D⊥平面B₁C，

　　 得 A₁D⊥B₁C

　　 又A₁D∩B₁D=D，

　　 所以 B₁C⊥面A₁BD。···················································6分

　 (Ⅱ)解：设E为AC的中点，连接BE、B₁E。

　　 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，

　　 即 ∠BEB₁为二面角B-AC-B₁的平面角·································9分

　　 又

　　 故

　　 所以　 二面角的大小为······································12分

　　 方法二：

　 (Ⅰ)证明：设BC的中点为O，如图建立空间直角坐标系O-xyz

依题意有

则

由

　　 故　

　　 又　

　　 所以

　　 故 　　 又　 BD∩BA₁=B

　　 所以 B₁C⊥面A₁BD，

　 (Ⅱ)依题意有

　　 设⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。

　　 求得

　　 故

　　 所以　 二面角的大小为······································12分

5、(2009深圳一模)如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小；

(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？

解：(Ⅰ)证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．

平面，平面平面．　 …………………4分

　(Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明，有平面，为在

平面上的射影，

因此，为直线与平面所成的角． ………………………5分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．…………………7分

，．

直线与平面所成角的大小为．　　　 …………………8分

　(Ⅲ)(解法一)过点作，交的延长线于点，连．

根据(Ⅰ)的证明，平面，则，

为二面角的平面角，．…………………9分

在中，，,．　 …………………　 10分

又四边形为矩形， ．

．　　　　　　　　

因此，当的长为时，二面角的大小为．　　 …………………12分

(解法二)设中点为，以为坐标原点，、、方向

分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系(如图)

设，则点的坐标为

在中，，,．

点的坐标为，点的坐标为,

，

设平面的法向量为，则,．

即　　 令，解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………10分

取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为

，即， 解得(负值舍去)

因此，当的长为时，二面角的大小为．　　 …………………12分

4、(2009番禺一模)如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，

且,若、分别为线段、的中点．

(1) 求证：直线// 平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求二面角的正切值.

(1)证明：连结，在中//　　　　　　　　　　　　 ……2分

且平面，平面

　　　 ……………………………………………………….4分

(2)证明：因为面面　平面面　

　所以，平面　…………………………………………6分

　　 又，所以是等腰直角三角形，且　

　即……………………………………………………………….8分

　，且、面

　面

　又面　面面………………………………………………………10分

(3)解：设的中点为,连结,,则

由(Ⅱ)知面,　

面　

是二面角的平面角………………………12分

中，　

　故所求二面角的正切为 ……14分

另解：如图,取的中点, 连结,.

∵,　 ∴.

∵侧面底面,,　

∴,

而分别为的中点,∴,又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,,,,,.

∵为的中点, ∴.

(1)易知平面的法向量为而,

且,　 ∴ //平面.

(2)∵,　　 ∴,

∴,从而,又,,

∴,而,　 ∴平面平面

(3)由(2)知平面的法向量为.

设平面的法向量为.∵,

∴由可得,令,则,

故,∴,

即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.

3.(2009广东三校一模)如图,在梯形中,∥,,

,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.

(1)求证:平面;

(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;

(3)求二面角的平面角的余弦值.

(Ⅰ)在梯形中，，

四边形是等腰梯形，

且

　　 2分

又平面平面，交线为，

平面　　　　　　　 4分

(Ⅱ)解法一、当时，平面，　　　 5分

在梯形中，设，连接，则　　　　　 6分

，而，　　　　　　 7分

，四边形是平行四边形，　　　　　　 8分

又平面，平面平面　　　　　 9分

解法二：当时，平面，　　　　　　　　　　

由(Ⅰ)知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

5分

则，，，，

，

平面，

平面与、共面，

　 也等价于存在实数、，使，

设.

，

又，，　　　　　　　　　　 6分

从而要使得：成立，

需，解得　　　　　　　　　 8分

当时，平面　　　　　　　　 9分

(Ⅲ)解法一、取中点，中点，连结，，

平面

又，，又，

是二面角的平面角.　　　 　6分

在中,

,.　　　　　 7分

又.　　　　　　　 8分

在中，由余弦定理得,　　　　　　　 9分

即二面角的平面角的余弦值为.

　 解法二:由(Ⅰ)知,以点为原点，所在直线为坐标轴,

建立空间直角坐标系,则,，，

，，过作,

垂足为. 令,

,　

由得,,,即　 11分

,

二面角的大小就是向量与向量所夹的角.　　　　　 12分

　　　　 13分　　　　

即二面角的平面角的余弦值为.　　　　　　　　　　 14分

2.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．

(1)求证：四点共面；(4分)；(2)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；(4分)；(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

证明：(1)建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．

(2)如图，设，则，而，由题设得，

得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．

(3)设向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或(为锐角)．

于是．　　　　　　 故．

1.如图，在三棱锥中，，

，．

(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求点到平面的距离．

解法一：(Ⅰ)取中点，连结．

，．，．

，平面．

平面，．

(Ⅱ)，，

．又，．

又，即，且，

平面．取中点．连结．

，．是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．在中，，，，．

二面角的大小为．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面，平面平面．过作，垂足为．

平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．

由(Ⅰ)知，又，且，平面．

平面，．

在中，，，

．． 点到平面的距离为．

解法二：(Ⅰ)，，．又，．

，平面．平面，．

(Ⅱ)如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．

设．，，．取中点，连结．

，，，．是二面角的平面角．

，，，

．二面角的大小为．

(Ⅲ)，在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如(Ⅱ)建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．

点到平面的距离为．

4.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于　　　　

答案 .

3.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为(　　 )A.　B.　C.　D.

答案 C

2.(2009昆明一中第三次模拟)如图，正四棱柱中，,则异面直线与所成角的余弦值为(　 )

　 A．　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　

C．　　　　　　　　　　　　 D.

答案 D

1. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M 　②弦AB、CD可能相交于点N　③MN的最大值为5　 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　　 　

　A．1个　　 　　　B．2个　　 　　　　C．3个　　 　　　　D．4个

答案 C