9、(2009湛江一模)已知函数.()

(Ⅰ)当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)若在区间(1，+∞)上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

解：(Ⅰ)当时，，；………………2分

　　　　 对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，…………3分

　　　 　∴，.……………………………5分

(Ⅱ)令，则的定义域为(0，+∞).

……………………………………………6分

　　 在区间(1，+∞)上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间(1，+∞)上恒成立. 　

∵

① 若，令，得极值点，，………………8分

当，即时，在(，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有

∈(，+∞)，不合题意；………………………………………9分

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………10分

② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分

要使在此区间上恒成立，只须满足，

由此求得的范围是[，].

综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.

　　　　　　　　　　　 　　　………………………………………………14分

2009年联考题

8、(2009深圳一模)已知函数(，)．

(Ⅰ)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)　　　　　　　　　　　 …………………　 2分

，

由，得．

，，．

又．

函数的单调递增区间为,递减区间为．　 ………… 6分　

(Ⅱ)[法一]不等式，即为．……………(※)

令，当时，．

则不等式(※)即为．　　　　　 …………………9分

令，，

在的表达式中，当时，，

又时，，

在单调递增，在单调递减．

在时，取得最大，最大值为．　 …………………12分

因此，对一切正整数，当时，取得最大值．

实数的取值范围是．　　　 ………………………… 14分

[法二]不等式，即为．………………(※)

设，

，

令，得或．　　　　　　 ………………………… 10分

当时，，当时，．

当时，取得最大值．

因此，实数的取值范围是．　　　　　 ………………………… 14分

7、 解: (1) ,两边加得: ,

　是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①

由两边减得: 　　是以

为公比, 为首项的等比数列.　 ……②

①-②得: 　所以,所求通项为…………5分

(2) 当为偶数时,

当为奇数时,,,又为偶数

由(1)知, ……………………10分

(3)证明：

又 ……12分

…………14分

6、(2009昆明一中第三次模拟)已知

(1)　　　 若函数是上的增函数，求的取值范围；

(2)　　　 若，求的单调增区间

解：(Ⅰ)，

是上的增函数，故在上恒成立，

即在上恒成立

的最小值为，故知a的取值范围是

(2)由，得，

①当时，，即函数在上单调递增；

时，由判别式可知

②当时，有，

即函数在上单调递增;

③当时，有或，

即函数在上单调递增

5、(2009茂名一模)已知，其中是自然常数，

(Ⅰ)讨论时, 的单调性、极值；

(Ⅱ)求证：在(Ⅰ)的条件下，;

(Ⅲ)是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

(Ⅰ)，　 ……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增　 ……3分　 ∴的极小值为 ……4分

(Ⅱ)的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分

令，，　 ……6分

当时，，在上单调递增　 ……7分

∴　 ∴在(1)的条件下，……9分

(Ⅲ)假设存在实数，使()有最小值3， …9分

① 当时，在上单调递减，，(舍去)，所以，

此时无最小值.　 ……10分　 ②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.　 ……11分

③ 当时，在上单调递减，，(舍去)，所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.　

4、(2009东莞一模)已知，，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；

(3)是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

　解：(1)当.…(1分)

　　　　　 ……(3分)

∴的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为：，.

……(4分)

(2)切线的斜率为，

∴ 切线方程为.……(6分)

　　　　　　 所求封闭图形面积为

.　

……(8分)

(3)，　　 ……(9分)

　　　　　　 令.　　　　　　　　　　　　 ……(10分)

列表如下：

x	(－∞，0)	0	(0，2－a)	2－a	(2－a，+ ∞)
	－	0	+	0	－
	↘	极小	↗	极大	↘

由表可知，.　　　　　 ……(12分)

设，

∴上是增函数，……(13分)

　　　　　　 ∴ ，即，

∴不存在实数a，使极大值为3.　　　　　　 ……(14)

3、(2009临沂一模)设函数f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

(I)　　　　　　　　　 当a=0时，f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围;

(II)　　　　　　　　　 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;

(III)　　　　　　　　 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

解：(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得

当时;;当时，

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故.

(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

(3)存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为(0,+∞)。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-(舍去)

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。

2、(2009昆明市期末)已知函数，若x=0，函数f(x)取得极值

　 (Ⅰ)求函数f(x)的最小值；

　 (Ⅱ)已知证明：.

解：(Ⅰ)

　　 由　 x=0是极值点，故,得

　　 故　 m=1.

　　 故　

　　 当　 -1＜x＜0时，函数在(-1，0)内是减函数；

　　 当　 x＞0时，函数f(x)在(0，+∞)内是增函数。

　　 所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0.·························6分

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：f(x)≥0，故e^x-1≥ln(x+1)。

　　 ∵①··············8分

　　 又　

　　　　　　　　　　　　 =

　　 故　 ················································10分

　　 故　 　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　 由①②得　 ···········································12分

1、(2009聊城一模)已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。

　 (1)求的解析式；

　 (2)若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。

解：(1)

　 (2)

由，

知　　　　　　　　　　　　　　　　

，　 即　　　

7.(2009宣威六中第一次月考)已知函数，则函数f(x)的最小值是　　　　

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