15. (本题满分14分)

已知向量设函数

（I）求的最小正周期与单调递减区间；

（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值

16. (本题满分14分)

在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，E为CC₁的中点．
求证：（1）AC₁∥平面BDE；（2）A₁E^平面BDE．

17. (本题满分14分)

徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

18．(本题满分16分)

已知数列{ }、{ }满足：.

(1)求;　　　(2)求数列{ }的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立

19. (本题满分16分)

若椭圆过点（－3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径

为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、

PB，切点为A、B.  

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；

（III）求的最大值与最小值.

20. (本题满分16分)

设函数

   （I）求函数的极值点；

   （II）当时，若对任意，恒有，求的取值范围；

   （III）证明：

2009届高三南通市二模模拟考试五校联考数学试题

参 考 答 案

1.              2.               3.     4.

5.          6. 4，12           7.                  8.      

9.     10. 6                   11.         

12.               13.             14.  8

15.解：（I）

                                          …………4分

                                               …………5分

              …………7分

   （II）由得

                                                    …………10分

                                                     …………12分

                                                   …………14分

16. （1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形，故O为AC中点．因为E为CC₁中点，所以OE∥AC₁．因为OEÌ平面BDE，AC₁(/平面BDE．所以AC₁∥平面BDE．

（2）连接B₁E．设AB＝a，则在△BB₁E中，BE＝B₁E＝a，BB₁＝2a．所以BE²＋B₁E²＝BB₁²．所以B₁E^BE．由正四棱柱得，A₁B₁^平面BB₁C₁C，所以A₁B₁^BE．所以BE^平面A₁B₁E．所以A₁E^BE．同理A₁E^DE．所以A₁E^平面BDE．

17. 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分

故所求函数及其定义域为 ………………………….6分

(2)依题意知a，v都为正数，故有

当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分