Question

19．倾角为37°的传送带在电机控制下以4m/s的速度沿图示方向匀速率运行，传送带的顶端与底端相距17m．现将一质量为0.4kg的煤块放到传送带的顶端，使它从静止开始沿传送带下滑，煤块与传送带间的动摩擦因数为0.25，煤块在传送带上运动留下黑色划痕（不计煤块质量变化），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求煤块从顶端滑到底端的过程中（sin37°=0.6，重力加速度g=10m/s² ）
（1）煤块运动的时间  
（2）摩擦产生的热量 
（3）划痕长度．

Answer 1

分析 （1）煤块放到传送带后，开始时所受的滑动摩擦力方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律求出开始下滑的加速度，由速度时间求出当速度达到传送带速度时的时间和位移．由于重力的分力大于最大静摩擦力，所以共速后，煤块继续做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出第二次匀加速直线运动的加速度，结合运动学公式求出时间．
（2）求出煤块与传送带的相对路程，根据Q=fs_相对，求出产生的热量．
（3）划痕长度等于煤块与传送带的相对位移，由位移公式公式和几何关系求解．

解答 解：（1）通过受力分析可知，刚开始时，煤块所受的滑动摩擦力沿传送带向下，由牛顿第二定律，得：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₁；
得加速度大小为：a₁=gsin37°+μgcos37°=10×0.6+0.25×10×0.8=8m/s²．
达到跟传送带相同速度所需时间为：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{8}$s=0.5s，
通过位移为：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×8}$m=1m．
由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以共速后，煤块继续做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂；
解得加速度大小为：a₂=gsin37°-μgcos37°=10×0.6-0.25×10×0.8=4m/s²．
继续匀加速运动的位移大小为：x₂=L-x₁=17-1=16m，
则有：x₂=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
代入数据解得：t₂=2s．      
所以总时间为：t=t₁+t₂=2.5s；
（2）全过程中产生的热为：
Q=f•s_相对=μmgcos37°•[（v₀t₁-x₁）+（x₂-v₀t₂）]
代入数据解得：Q=7.2J．
（3）由于（v₀t₁-x₁）＜（x₂-v₀t₂），所以划痕长度为 L=x₂-v₀t₂
代入数据解得：L=8m
答：（1）煤块运动的时间是2.5s． 
（2）摩擦产生的热量是7.2m．
（3）划痕长度是8 m．

点评 解决本题的关键理清木块的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式求解，恒力做功公式求解．