Question

7．如图1所示，a是一个质量为m、边长为L由均匀导线组成的正方形闭合线框，线框电阻为R；b是由同种材料绕成的边长仍为L正方形闭合线框，但绕制线框的导线半径是a线框所用导线半径的2倍．a线框从高度h处静止自由下落进入一个宽度为H（H＞2L）的匀强磁场区域，该区域内的磁感应强度变化规律如图2所示，图中B₀与t₀均为已知值．线框在t=t₀时刻恰好完全进入磁场区域，并在t＜2t₀时段内以速度v触及磁场区域下边界．不计空气阻力对线框运动的影响，重力加速度为g．求：
（1）a线框在t=t₀时刻的动能E_k
（2）a线框从进入磁场到触及磁场下边界的过程中产生的焦耳热Q
（3）若a、b线框同时从同一高度静止落入磁场，它们恰好完全进入磁场区域所需的时间比值$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$大小．

Answer 1

分析 （1）线框完全进入磁场后，磁通量不变，不产生感应电流，不受安培力，其所受重力等于重力，做匀加速直线运动，根据运动学公式求a线框在t=t₀时刻的速度，从而得到a线框在t=t₀时刻的动能E_k．
（2）线框产生的热量由两部分组成：一是线框通过磁场上边界过程产生热量，根据能量守恒定律求得．二是线框完全在磁场内运动的过程产生热量，求得感生电流，求出运动时间，由焦耳定律求得．
（3）根据牛顿第二定律、电阻定律分析得出线框进入磁场初速度及加速度与导线的粗细无关，由于有相同的初速度和加速度，两者在相等时间内速度变化相等，故以相同运动通过上边界，完成等长的位移所需时间相等．

解答 解：（1）线框完全进入磁场后，其所受合力等于重力，有 a=g
由 v²=v₀²+2g（H-L）得a线框在t=t₀时刻的动能为：
E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-mg（H-L）      
（2）线框产生的热量由两部分组成：
①线框通过磁场上边界过程产生热量为：Q₁=mg（h+L）-E_k=mg（H+h）-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
②线框完全在磁场内运动的过程产生热量Q₂．
感生电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{L}^{2}}{{t}_{0}R}$　　
运动时间为：t=$\frac{v-\sqrt{{v}^{2}-2g（H-L）}}{g}$    
则有：Q₂=I²Rt=$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}[v-\sqrt{v-2g（H-L）}]}{Rg{t}_{0}^{2}}$
所以a线框从进入磁场到触及磁场下边界的过程中产生的焦耳热为：
Q=Q₁+Q₂=mg（H+h）-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}[v-\sqrt{v-2g（H-L）}]}{Rg{t}_{0}^{2}}$．
 （3）线框进入磁场上边界时加速度为：
a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{Rm}$         
式中 Rm=ρ_电$\frac{4L}{S}$•ρ_密（4LS）=16L²ρ_电ρ_密　　
可得：a=$\frac{{B}^{2}v}{16{ρ}_{电}{ρ}_{密}}$∝v
所以a、b线框进入磁场初速度及加速度与导线的粗细无关，由于有相同的初速度和加速度，两者在相等时间内速度变化相等，故以相同运动通过上边界，完成等长的位移所需时间相等．即$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$=$\frac{1}{1}$．
答：（1）a线框在t=t₀时刻的动能E_k是$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-mg（H-L）．
（2）a线框从进入磁场到触及磁场下边界的过程中产生的焦耳热Q是mg（H+h）-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}[v-\sqrt{v-2g（H-L）}]}{Rg{t}_{0}^{2}}$．
（3）若a、b线框同时从同一高度静止落入磁场，它们恰好完全进入磁场区域所需的时间比值$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$大小为1：1．

点评 本题关键是明确线框的运动情况以及能量转化情况，要知道当电流恒定时，往往根据焦耳定律求电热．而电流变化时，可根据能量守恒定律求电热．