Question

10．如图所示，在竖直平面内有一个“日”字形线框，线框总质量为m，每条短边长度均为l，线框横边的电阻均为r，竖直边的电阻不计．在线框的下部有一个垂直“曰”字平面方向向里的磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的高度也为l．让线框自空中一定高处自由落下，当线框下边刚进入磁场时立即做匀速运动．重力加速度为g．求：
（1）“日”字形线框做匀速运动的速度v的大小；
（2）“曰”字形线框从幵始下落起，至线框上边刚进入磁场的过程中通过ab边的电量q；
（3）“日”字形线框从开始下落起，至线框上边离开磁场的过程中ab边产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据线框下边刚进入磁场时立即作匀速运动，安培阻力等于重力，结合安培力综合表达式，即可求解；
（2）根据：q=It即可求解，分别先求出电路中的电流值与ab到达磁场的时间即可求出；
（3）根据功能关系即可求出．

解答 解：（1）根据线框下边刚进入磁场时立即作匀速运动，此时任意一条边切割磁感线时的等效电路都相同，如图：
则电路的总电阻为：
R=r+$\frac{r}{2}$
由平衡条件，则有：mg=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{\frac{3}{2}r}$
解得：v=$\frac{3mgr}{2{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）因线框下边刚进入磁场时立即作匀速运动，当中间边切割磁场时，感应电动势不变，则电阻也不变，因此安培阻力仍等于重力，那么一直做匀速直线运动，则到线框上边刚进入磁场的过程中经历的时间为：
t=$\frac{2l}{v}$=$\frac{4{B}^{2}{l}^{3}}{3mgr}$
任意一条边产生的电动势都是相等的，为：E=Blv=$\frac{3mgr}{2Bl}$
所以当下边与中间的边切割磁感线时，ab边上的电流都是：
I=$\frac{1}{2}•\frac{E}{R}=\frac{\frac{3mgr}{2Bl}}{2×\frac{3}{2}r}=\frac{mg}{2Bl}$
所以：q=It=$\frac{mg}{2Bl}•\frac{4{B}^{2}{l}^{3}}{3mgr}$=$\frac{2B{l}^{2}}{3r}$
（3）由于线框一直做匀速运动，所以至线框上边离开磁场的过程中线框产生的热量等于线框减小的重力势能，即：
Q_总=mg•3l
由电路图可知，由于任意一条边切割磁感线时的等效电路都相同，所以在每一条边上产生的焦耳热都是相等的，即至线框上边离开磁场的过程中ab边产生的热量：
Q=$\frac{1}{3}{Q}_{总}=mgl$
答（1）“日”字形线框做匀速运动的速度v的大小是$\frac{3mgr}{2{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）“曰”字形线框从幵始下落起，至线框上边刚进入磁场的过程中通过ab边的电量q是$\frac{2B{l}^{2}}{3r}$；
（3）“日”字形线框从开始下落起，至线框上边离开磁场的过程中ab边产生的热量Q是mgl．

点评 考查平衡条件的内容，掌握安培力的综合表达式，理解切割感应电动势影响因素，注意电路中的等效电阻的求解．