Question

5．如图所示，无限长金属导轨EF、PQ固定在倾角为θ=37°的光滑绝缘斜面上，轨道间距L=1m，底部接入一阻值为R=0.06Ω的定值电阻，上端开口．垂直斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B_o=2T．一质量为m=2kg的金属棒ab与导轨接触良好，ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，ab连入导轨间的电阻r=0.04Ω，电路中其余电阻不计．现用一质量为M=6kg的物体通过一不可伸长的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab相连．开始时ab杆位于EP处，由静止释放M，当M下落高度h=2.0m时，ab开始匀速运动（运动中ab始终垂直导轨，并接触良好）．不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度v_m；
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的焦耳热Q_R；
（3）若将重物下降h时的时刻记作t=0，从此时刻起，磁感应强度发生变化，使金属杆中恰好不产生感应电流，则B与t应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）由静止释放M，ab棒先向上做加速运动，随着速度增大，产生的感应电流增大，所受的安培力增大，加速度减小，当加速度为零时做匀速运动，速度达到最大值．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，结合平衡条件求解最大速度v_m．
（2）在ab棒从开始运动到匀速运动的过程中，系统的重力势能减小，转化为系统增加的动能、焦耳热和摩擦生热，根据能量守恒求出总的焦耳热，再由焦耳定律求电阻R上产生的热量．
（3）金属杆中恰好不产生感应电流时，不受安培力，ab杆和M均做匀加速运动，此时abPE回路的磁通量不变，由此列式求解．

解答 解：（1）由题意知，由静止释放M后，ab棒在绳拉力T、重力mg、安培力F和轨道支持力N及摩擦力f共同作用下做沿轨道向上做加速度逐渐减小的加速运动直至匀速运动，匀速运动达到最大速度，由平衡条件有：
  T-mgsinθ-F-f=0…①
  N-mgcosθ=0…②
  T=Mg…③
又由摩擦力公式得  f=μN…④
ab所受的安培力  F=B₀IL…⑤
回路中感应电流 I=$\frac{{B}_{0}L{v}_{m}}{R+r}$…⑥
联解①②③④⑤⑥并代入数据解得：
最大速度 v_m=1m/s…⑦
（2）由能量守恒定律知，系统的总能量守恒，即系统减少的重力势能等于系统增加的动能、焦耳热及摩擦而转化的内能之和，有：
  Mgh-mghsinθ=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{m}^{2}$+Q+fh…⑧
电阻R产生的焦耳热  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q…⑨
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有：
 联解⑧⑨并代入数据得：Q_R=45.6J
（3）金属杆中恰好不产生感应电流时，不受安培力，ab杆和M均做匀加速运动，设加速度大小为a．
根据牛顿第二定律得 Mg-mgsinθ-μmgcosθ=（M+m）a  …（10）
解得 a=5m/s²．
abPE回路的磁通量不变，则有 B₀Lh=BL（h+v_mt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$） …（11）
解得 B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$ T
答：（1）ab棒沿斜面向上运动的最大速度v_m是1m/s．
（2）ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻R上产生的焦耳热Q_R是45.6J．
（3）B与t应满足的关系式是B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$T．

点评 本题有两个关键：一是推导安培力与速度的关系；二是推导感应电荷量q的表达式，对于它们的结果要理解记牢，有助于分析和处理电磁感应的问题．