Question

1．光滑圆轨道和两倾斜直轨道组成如图所示装置，其中直轨道bc粗糙，直轨道cd光滑，两轨道相接处为一很小的圆弧．质量为m=0.1kg的滑块（可视为质点）在圆轨道上做圆周运动，到达轨道最高点a时的速度大小为v=4m/s，当滑块运动到圆轨道与直轨道bc的相切处b时，脱离圆轨道开始沿倾斜直轨道bc滑行，到达轨道cd上的d点时速度为零．若滑块变换轨道瞬间的能量损失可忽略不计，已知圆轨道的半径为R=0.25m，直轨道bc的倾角θ=37°，其长度为L=26.25m，滑块与轨道之间得动摩擦因数为0.8，d点与水平地面间的高度差为h=0.2m，取重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6．求：
（1）滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小；
（2）滑块在直轨道bc上能够运动的时间．

Answer 1

分析 （1）在圆轨道最高点a处滑块受到的重力和轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律即可求解；
（2）分别对上滑的过程和下滑的过程中使用牛顿第二定律，求得加速度，然后结合运动学的公式，即可求得时间．

解答 解：（1）在圆轨道最高点a处对滑块由牛顿第二定律得：$mg+{F_N}=m\frac{v^2}{R}$
所以${F_N}=m（\frac{v^2}{R}-g）$
解得：N=5.4N；
由牛顿第三定律得滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小为5.4 N．
（2）设滑块在bc上向下滑动的加速度为a₁，时间为t₁，向上滑动的加速度为a₂，时间为t₂；在c点时的速度为v_c．
由c到d：$\frac{1}{2}mv_c^2=mgh$
${v_c}=\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
a点到b点的过程：$\frac{1}{2}m{v^2}+mgR（1+cosθ）=\frac{1}{2}mv_b^2$
所以${v_b}=\sqrt{{v^2}+2gR（1+cosθ）}$=5m/s
在轨道bc上：
下滑：$L=\frac{{{v_b}+{v_c}}}{2}{t_1}$
${t_1}=\frac{2L}{{{v_b}+{v_c}}}$=$\frac{2×26.25}{2+5}$=7.5s
上滑：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
a₂=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.8×10×0.8=12.4m/s²
0=v_c-a₂t₂
${t_2}=\frac{v_c}{a_2}=\frac{5}{31}s$=0.16s
因为μ＞tanθ，所以滑块在轨道bc上停止后不再下滑
滑块在两个斜面上运动的总时间：t_总=t₁+t₂=（7.5+0.16）s=7.66s
答：（1）滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小是5.4N；
（2）滑块在直轨道bc上能够运动的时间是7.66s．

点评 该题中滑块经历的过程比较多，要分析清楚运动的过程中，在列公式的过程中一定要注意各物理量与对应的过程的关系．