Question

3．如图甲所示，是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图．打夯前先将桩料扶正立于地基之上．已知夯锤的质量为M=450kg，桩料的质量为m=50kg．每次打夯都通过卷扬机牵引将夯锤提升到距离桩顶h₀=5m处再释放，让夯锤自由下落，夯锤砸在桩料上并不弹起，而是随桩料一起向下运动．桩料进入泥土后所受阻力随打入深度h的变化关系如图乙所示，直线斜率k=5.05×10⁴N/m．g=10m/s²，求：打完第一夯后，桩料进入泥土的深度．（假设打第一夯前，桩料未进入泥土）

Answer 1

分析 对夯锤自由下落过程应用机械能守恒得到碰撞前的速度，然后由动能定理求得碰撞后的速度，即可由动能定理求得桩料进入泥土的深度．

解答 解：夯锤与桩料碰撞前做自由落体运动，故机械能守恒，则有：$Mg{h}_{0}=\frac{1}{2}M{{v}_{0}}^{2}$，所以，碰撞前，夯锤的速度${v}_{0}=\sqrt{2g{h}_{0}}=10m/s$；
夯锤砸在桩料上并不弹起，而是随桩料一起向下运动，故由动能定理可得：碰后一起运动的速度$v=\frac{M{v}_{0}}{M+m}=9m/s$；
设打完第一夯后，桩料进入泥土的深度为h，那么由图可知：克服摩擦力做的功${W}_{f}=\frac{1}{2}k{h}^{2}$；
对在泥土中下落的过程应用动能定理可得：$（M+m）gh-\frac{1}{2}k{h}^{2}=0$$-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，所以，h=1m；
答：打完第一夯后，桩料进入泥土的深度为1m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．