Question

14．如图所示，曲线Ⅰ是一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道，其半径为R，曲线Ⅱ是另一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道，O点为地球的地心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知两卫星在轨道上运动的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，则下列说法正确的是（　　）

• A． 椭圆轨道的长轴长度为4R
• B． 卫星在Ⅰ轨道上加速度大小为a₀，卫星在Ⅱ轨道上经B点时加速度大小为a_B，则有a₀＜a_B
• C． 卫星在Ⅰ轨道上速率为v₀，卫星在Ⅱ轨道上经B点时速率为v_B，则v₀＞v_B
• D． 若OA=0.4R，则卫星经B点时速率v_B＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根据开普勒定律比较长轴与R的关系，根据万有引力的大小，通过牛顿第二定律比较加速度，结合速度的大小比较向心加速度的大小．

解答 解：A、根据开普勒第三定律得$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，a为半长轴，己知卫星在两轨道上运动的卫星的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，故A错误；
B、根据牛顿第二定律得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，卫星在Ⅰ轨道距离地心的距离小于卫星在Ⅱ轨道B点距离地心的距离，所以a₀＞a_B．故B错误；
C、B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v₀表示做匀速圆周运动的速度，v₀＞v_B，故C正确；
D、若OA=0.4R，则OB=1.6R，
人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{5GM}{8R}}$＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，
在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速率v_B＜$\sqrt{\frac{5GM}{8R}}$$＜\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，故D正确；
故选：CD

点评 本题考查万有引力定律、开普勒第三定律、牛顿第二定律等知识，知道卫星变轨的原理是解决本题的关键，难度适中．