Question

7．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂于O点，与O点处于同一水平线的P点处有一根光滑的细钉，已知OP=$\frac{L}{2}$，在A点给小球一个水平向左的初速度v₀，发现小球到达跟P点在同一竖直线上的最高点B时绳的拉力为$\frac{1}{2}$mg．
（1）若不计空气阻力，则给小球的初速度v₀应该多大？
（2）若其他条件不变，当v₀=2$\sqrt{gL}$时，则小球从点A到B的过程中克服空气阻力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）对小球在B点应用牛顿第二定律求得速度，然后由机械能守恒求得初速度；
（2）根据动能定理求得运动过程克服空气阻力做的功．

解答 解：（1）因小球到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，所以由圆周运动的知识，对小球在B点应用牛顿第二定律可得：$mg+\frac{1}{2}mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{\frac{1}{2}L}$，那么，${v}_{B}=\frac{\sqrt{3gL}}{2}$；
小球从A到B的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg（L+\frac{1}{2}L）+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{15}{8}mgL$，所以，${v}_{0}=\frac{\sqrt{15gL}}{2}$；
（2）对小球从A到B的过程中应用动能定理可得：小球从点A到B的过程中克服空气阻力做功$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-mg（L+\frac{1}{2}L）=\frac{1}{8}mgL$；
答：（1）若不计空气阻力，则给小球的初速度v₀应该为$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$；
（2）若其他条件不变，当v₀=2$\sqrt{gL}$时，则小球从点A到B的过程中克服空气阻力做功为$\frac{1}{8}mgL$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．