题目内容

16．如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内的空间中存在着沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＜0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，始终沿着与水平方向成θ=30°角的斜向下做直线运动，进入x＞0区域．要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需要在x＞0区域加一个匀强电场E′．若带电油滴做匀速圆周运动通过x轴上的N点，且MO=NO，g取l0m/s2．求：
（1）油滴运动速度大小；
（2）在x＞0空间内所加电场强度大小和方向；
（3）油滴从x轴上的M点开始运动到达N点所用的时间．

分析 （1）带电油滴沿着直线MP做匀速运动，分析受力情况，由平衡条件判断油滴的电性．
油滴沿着直线MP做匀速运动，合力为零，作出油滴的受力示意图，根据平衡条件和洛伦兹力公式列式，即可求得速率v．
（2）在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，则可由平衡条件列式求得场强．
（3）分段求时间，匀速直线运动过程，根据位移和速率求解；匀速圆周运动过程，画出轨迹，根据轨迹的圆心角求时间．

解答 解：（l）由题意，带电油滴沿着直线MP做匀速运动，分析受力情况如图1，可知油滴带正电．
油滴受三力作用（见图1）沿直线匀速运动，由平衡条件有：
qvBcos30°=mg…①
qvBsin30°=qE…②
解得：v=$\frac{2E}{B}$…③
（2）由①②得：mg=$\sqrt{3}$qE…④
在x＞0的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，由于油滴带正电，所以场强方向竖直向上．
由mg=qE′，得 E′=$\frac{mg}{q}$…⑤
（3）设粒子从M到P点的时间为 t1，从P点到N点的时间为t2，粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R．过P点作直线交x轴与o′，由几何知识有：
O′P=$\frac{OM}{cos30°}$tan30°=$\frac{2}{3}OM$…⑥
O′N=0N-O′Psin30°=$\frac{2}{3}$OM…⑦
故O′为圆心．
根据牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧
由③、④、⑦由式解得：R=$\frac{2\sqrt{3}{E}^{2}}{g{B}^{2}}$…⑨
由几何知识得：MP=Rcot30°…⑩
t1=$\frac{MP}{v}$=$\frac{Rcot30°}{v}$=$\frac{3E}{gB}$…（11）
t2=$\frac{120°}{360°}$•$\frac{2πR}{v}$…（12）
全过程经历的时间为 tMN=t1+t2…（13）
解得：tMN=$\frac{\sqrt{3}E}{gB}$（$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}π$）…（14）
答：（1）油滴运动速度大小为$\frac{2E}{B}$；
（2）在x＞0空间内所加电场强度大小为$\frac{mg}{q}$，方向为竖直向上；
（3）油滴从x轴上的M点开始运动到达N点所用的时间为$\frac{\sqrt{3}E}{gB}$（$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}π$）．

点评 本题是带电体在复合场中运动的类型，分析受力情况和运动情况是基础，小球做匀速圆周运动时，画出轨迹，由几何知识确定圆心角是求解运动时间的关键．

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